Polinomios

Ejemplo de suma de polinomios.

$$ (6+2x+5x^3+2x^4+5x^5)+(3+2x-6x^2-3x^4+4x^5)=9+4x-6x^2+5x^3-x^4+9x^5. $$

Ejemplo de resta de polinomios.

$$ (6+2x+5x^3+2x^4+5x^5)-(3+2x-6x^2-3x^4+4x^6)=3+6x^2+5x^3+5x^4+5x^5-4x^6. $$

Encontrar el producto de los polinomios $g(x)=5x^3-2x^2+3x-1$ y $q(x)=-3x^2+5x+4.$

Solución:

$$ \begin{matrix} 5x^3 & -2x^2 & +3x &-1 & \ & \cr -3x^2 & +5x & +4 & \ & \ & \ \cr \hline \ & \ & \ & \ & \ & \ & \ \cr -15x^5 & +6x^4 &-9x^3 &+3x^2 & \ & \ & \ \cr \ & +25x^4 & -10x^3 & +15x^2 & -5x \cr \ & \ & +20x^3 & -8x^2 & +12x & -4 \cr \hline -15x^5 & +31x^4 & +x^3 & +10x^2 & +7x & -4 \cr \end{matrix} $$

La respuesta es: $g(x)\cdot q(x)=-15x^5+31x^4+x^3+10x^2+7x-4.$

Encontrar el grado del polinomio $$f(x)=(2x-1)(x^2-x+1)+(x+1)(-2x^2+x+2).$$

Solución: el polinomio $f(x)$ es la suma de dos polinomios de grado 3. Para encontrar la forma explícita de $f(x)$ tenemos que desarrollar los productos y sumar los resultados. Para encontrar el primer polinomio realizamos el procedimiento “por columna”:

$$ \begin{matrix} 2x & -1 & \ & \ \cr x^2 & -x & +1 & \ \cr \hline \ & \ & \ & \ \cr 2x^3 & -x^2 & \ & \ \cr \ & -2x^2 & +x & \ \cr \ & \ & +2x & -1 \cr \hline 2x^3 & -3x^2 & +3x & -1. \cr \end{matrix} $$

En la misma manera encontramos el segundo polinomio.

$$ \begin{matrix} x & +1 & \ & \ \cr -2x^2 & +x & +2 & \ \cr \hline \ & \ & \ & \ \cr -2x^3&-2x^2& \ & \ \cr \ &+x^2&+x& \ \cr \ & \ &+2x&+2\cr \hline -2x^3 &-x^2&+3x&+2.\cr \end{matrix} $$

Entonces la suma $f(x)=0x^3-4x^2+6x+1$ tiene grado 2.

La respuesta es: $\deg f(x)=2.$

Encontrar el grado del polinomio $$p(x)=(x+3)(x^2+3x+2)-(x+1)(x^2+5x+6).$$

Solución: el polinomio $p(x)$ es la resta de dos polinomios de grado 3. Para encontrar la forma explícita realizamos el procedimiento “por columna”:

$$ \begin{matrix} x & +3 & \ & \ \cr x^2 & +3x & +2 & \ \cr \hline \ & \ & \ & \ \cr x^3 & +3x^2 & \ & \ \cr \ & +3x^2 & +9x & \ \cr \ & \ & +2x & +6 \cr \hline x^3 & +6x^2 & +11x & +6. \cr \end{matrix} $$

En la misma manera encontramos el segundo polinomio.

$$ \begin{matrix} x & +1 & \ & \ \cr x^2 & +5x & +6 & \ \cr \hline \ & \ & \ & \ \cr x^3&+x^2& \ & \ \cr \ &+5x^2&+5x& \ \cr \ & \ &+6x&+6\cr \hline x^3 &+6x^2&+11x&+6.\cr \end{matrix} $$

Entonces la resta $p(x)=(x^3+6x^2+11x+6)-(x^3+6x^2+11x+6)$ es un polinomio cero y por la definición su grado es $-\infty .$

La respuesta es: $\deg p(x)=-\infty .$

Sea $f(x)=6x^4-x^3-12x^2+12x-2$ y $g(x)=3x^2-2x+1.$ Encontrar el cociente y el residuo de la división de $f(x)$ entre $g(x).$

Solución: primero colocamos el dividendo y el divisor en el siguiente esquema del algoritmo de Euclides:

$$ g(x) \ \overline{) \ f(x)}. $$

Para los polinomios del ejemplo se tiene la forma

$$\polylongdiv[stage=1, style = A]{6x^4-x^3-12x^2+12x-2}{3x^2-2x+1}$$

Dividimos el término con el exponente máximo del dividendo (esto es $6x^4$) entre el término con el exponente máximo del divisor (esto es $3x^2)$ y colocamos el resultado (esto es $2x^2)$ arriba del dividendo.

$$\polylongdiv[stage=2, style = A]{6x^4-x^3-12x^2+12x-2}{3x^2-2x+1}$$

Multiplicamos este resultado por el divisor y colocamos el producto con signo contrario abajo del dividendo.

$$\polylongdiv[stage=3, style = A]{6x^4-x^3-12x^2+12x-2}{3x^2-2x+1}$$

El resultado de esta operación se suma al dividendo.

$$\polylongdiv[stage=4, style = A]{6x^4-x^3-12x^2+12x-2}{3x^2-2x+1}$$

Así se ha hecho el primer paso del algoritmo de Euclides y nos da el término con el exponente máximo del cociente (esto es $2x^2).$

Ahora aplicamos el mismo paso considerando como dividendo el resultado de la suma que es $3x^3-14x^2+12x$: dividimos el término con el exponente máximo (esto es $3x^3$) entre el término con el exponente máximo del divisor $(3x^2)$ y colocamos el resultado (esto es $x)$ arriba del dividendo.

$$\polylongdiv[stage=5, style = A]{6x^4-x^3-12x^2+12x-2}{3x^2-2x+1}$$

Multiplicamos este resultado (que es $x)$ por el divisor y colocamos el producto con signo contrario abajo.

$$\polylongdiv[stage=6, style = A]{6x^4-x^3-12x^2+12x-2}{3x^2-2x+1}$$

Sumando se completa el segundo paso.

$$\polylongdiv[stage=7, style = A]{6x^4-x^3-12x^2+12x-2}{3x^2-2x+1}$$

Realizamos el tercer paso.

$$\polylongdiv[stage=10, style = A]{6x^4-x^3-12x^2+12x-2}{3x^2-2x+1}$$

Para iniciar el cuarto paso, tenemos que dividir $3x$ entre el término con exponente $3x^2.$ Tal que no se puede realizar esta división, aquí se termina el algoritmo de Euclides. Arriba del esquema tenemos el cociente, $2x^2+x-4,$ y abajo del esquema tenemos el residuo, $3x+2.$

La respuesta es: $q(x)=2x^2+x-4,$ $r(x)=3x+2.$

Sea $f(x)=x^4$ y $g(x)=2x^2+x-1.$ Encontrar el cociente y el residuo de la división de $f(x)$ por $g(x).$

Solución: Para realizar el algoritmo de Euclides, tenemos que poner en el esquema todos los términos incluyendo los que tienen coeficiente cero:

$$ \begin{matrix} \ & 0.5x^2-0.25x+0.375\!\!\!\!\!\!\!\!\! \!\!\!\! \cr 2x^2+x-1)\!\!\!\!\!\!\! & \overline{ \ x^4+\ \ 0x^3+\ \ 0x^2+\ \ \ \ \ \ 0x+0}\hfill \cr \ & \!\!\!\! \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! -x^4-0.5x^3+0.5x^2 \hfill \cr \ & \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \overline{-0.5x^3+0.5x^2+\ \ \ \ 0x+0} \cr \ & \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! 0.5x^3+0.25x^2-0.25 x \cr \ &\ \ \ \ \ \ \overline{ \ \ \ \ 0.75x^2-0.25x+\ \ 0}\cr \ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -0.75x^2-0.375x+0.375 \cr \ & \hfill \ \overline{ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -0.625x+0.375}. \end{matrix} $$

La respuesta es: $q(x)=0.5x^2-0.25x+0.375,$ $r(x)=-0.625x+0.375.$

Sea $f(x)=2x^2+x-1$ y $g(x)=x^4.$ Encontrar el cociente y el residuo de la división de $f(x)$ entre $g(x).$

Solución: En este caso no podemos realizar ni siquiera el primer paso del algoritmo de Euclides ya que no se puede dividir el término $2x^2$ entre el término $x^4.$

$$ \begin{matrix} \ & \ \cr x^4 & \overline{| \ 2x^2+x-1}. \end{matrix} $$

Esto significa que el corto esquema anterior, ya tiene la respuesta: por arriba tenemos una suma vacía, $q(x)=0,$ y por debajo tenemos el polinomio $2x^2+x-1.$ La descomposición del Teorema de Euclides toma la forma:

$$ 2x^2+x-1=x^4\cdot 0+(2x^2+x-1). $$

La respuesta es: $q(x)=0,$ $r(x)=2x^2+x-1.$

Sea $f(x)=2x^2+x-1$ y $g(x)=x^4.$ Encontrar el cociente y el residuo de la división de $f(x)$ entre $g(x).$

Solución: En este caso no podemos realizar ni siquiera el primer paso del algoritmo de Euclides ya que no se puede dividir el término $2x^2$ entre el término $x^4.$

$$ \begin{matrix} \ & \ \cr x^4 & \overline{| \ 2x^2+x-1}. \end{matrix} $$

Esto significa que el corto esquema anterior, ya tiene la respuesta: por arriba tenemos una suma vacía, $q(x)=0,$ y por debajo tenemos el polinomio $2x^2+x-1.$ La descomposición del Teorema de Euclides toma la forma:

$$ 2x^2+x-1=x^4\cdot 0+(2x^2+x-1). $$

La respuesta es: $q(x)=0,$ $r(x)=2x^2+x-1.$

Sea $f(x)=3x^3+6x-4$ y $g(x)=x-2.$ Encontrar el cociente y el residuo de la división de $f(x)$ entre $g(x).$

Solución: El esquema de Horner tiene dos líneas, una horizontal y una vertical. Arriba colocamos todos los coeficientes del dividiendo (incluyendo valores cero) y después de la línea vertical, el valor de $a = 2$ en la siguiente manera:

$$ \begin{array}{cccc|c} 3&0&6&-4&\ \\ \ & \ & \ & \ & 2 \\ \hline \ &\ & \ &\ & \ \\ \end{array} $$

Bajamos el primer coeficiente (que corresponde al término con exponente máximo):

$$ \begin{array}{cccc|c} 3&0&6&-4&\ \\ \ & \ & \ & \ & 2 \\ \hline 3 &\ & \ &\ & \ \\ \end{array} $$

Multiplicamos el número nuevo colocado debajo de la línea horizontal por el número $a = 2,$ que está escrito después de la línea vertical, y colocamos el producto arriba de la línea horizontal:

$$ \begin{array}{cccc|c} 3&0&6&-4&\ \\ \ & 6 & \ & \ & 2 \\ \hline 3 &\ & \ &\ & \ \\ \end{array} $$

Sumamos la segunda columna:

$$ \begin{array}{cccc|c} 3&0&6&-4&\ \\ \ & 6 & \ & \ & 2 \\ \hline 3 & 6 & \ &\ & \ \\ \end{array} $$

Multiplicamos el número nuevo colocado abajo de la línea horizontal por el número $a=2,$ que está escrito después de la línea vertical, y colocamos el producto arriba de la línea horizontal:

$$ \begin{array}{cccc|c} 3&0&6&-4&\ \\ \ & 6 & 12 & \ & 2 \\ \hline 3 &6 & \ &\ & \ \\ \end{array} $$

Sumamos la tercera columna:

$$ \begin{array}{cccc|c} 3&0&6&-4&\ \\ \ & 6 & 12 & \ & 2 \\ \hline 3&6 & 18 &\ & \ \\ \end{array} $$

Multiplicamos el número nuevo colocado abajo de la línea horizontal por el número $a = 2,$ que esta escrito después de la línea vertical, y colocamos el producto arriba de la línea horizontal:

$$ \begin{array}{cccc|c} 3&0&6&-4&\ \\ \ & 6 & 12 & 36 & 2 \\ \hline 3 &6 & 18 &\ & \ \\ \end{array} $$

Sumamos la última columna:

$$ \begin{array}{cccc|c} 3&0&6&-4&\ \\ \ & 6 & 12 & 36 & 2 \\ \hline 3& 6 & 18 & 32 & \ \\ \end{array} $$

El esquema de Horner ahora está completo. El resultado de la división se coloca debajo de la línea horizontal. El último número es el residuo (sabemos que el residuo es constante), y los otros números son coeficientes del cociente. Es decir, $q(x)=3x^2+6x+18,$ $r(x)=32.$

La respuesta es: $q(x)=3x^2+6x+18,$ $r(x)=32.$

Sea $f(x)=x^6$ y $g(x)=x+1.$ Encontrar el cociente y el residuo de la división de $f(x)$ entre $g(x).$

Solución: En este ejemplo, $g(x)=x+1=x-(-1).$ Entonces podemos realizar la división sintética con $a=-1$ por medio del esquema de Horner.

$$ \begin{array}{rrrrrrr|r} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \ \\ \ & -1 & 1 & -1 & 1 & -1 & 1 & -1 \\ \hline 1 & -1 & 1 & -1 & 1 & -1 & 1 & \ \\ \end{array} $$

La respuesta es: $q(x)=x^5-x^4+x^3-x^2+x-1,$ $r(x)=1.$

Factorizar el polinomio

$$ f(x)=2x^4-x^3-7x^2+2x+6 $$

si se sabe que $x=-1$ y $x=3/2$ son raíces del mismo.

Solución: Según el teorema de Besout, la factorización del polinomio $f(x)$ es

$$ f(x)=(x-(-1))q(x)=(x+1)q(x). $$

Podemos encontrar el cociente $q(x)$ por medio de la división sintética.

$$ \begin{array}{rrrrr|c} 2&-1&-7&2&6 \\ \ & -2 & 3 & 4 & -6 & -1\\ \hline 2& -3 & -4 & 6 & 0 \ \\ \end{array} $$

Tal que el último número en el renglón de abajo es cero, entonces $-1$ es la raíz de $f(x).$ Los otros números definen el cociente: $q(x)=2x^3-3x^2-4x+6.$ Ya que se sabe que x = 3/2 es raíz de $f(x).$ Por lo tanto

$$ 0=f(3/2)=(3/2+1)q(3/2)=2.5q(3/2). $$

Es decir, $x=3/2$ también es la raíz de $q(x).$ Según el teorema de Besout, la factorización del polinomio $q(x)$ es

$$ q(x)=(x-3/2)q_1(x). $$

Podemos encontrar el cociente $q_1(x)$ por medio del esquema de Horner.

$$ \begin{array}{rrrr|r} 2&-3&-4&6& \ \\ \ & 3 & 0 & -6 & 3/2 \\ \hline 2& 0 & -4 & 0 & \ \\ \end{array} $$

Entonces $q_1(x)=2x^2-4,$ y tenemos la descomposición

$$ f(x)=(x+1)(x-3/2)(2x^2-4). $$

El polinomio $q_1(x)$ como polinomio cuadrático tiene su propia factorizacón

$$ 2x^2-4=2(x+\sqrt{2})(x-\sqrt{2}). $$

Finalmente encontramos la factorización completa del polinomio $f(x):$

$$ f(x)=2(x+1)(x-3/2)(x+\sqrt{2})(x-\sqrt{2}). $$

La respuesta es: $f(x)=2(x+1)(x-3/)(x+\sqrt{2})(x-\sqrt{2}).$

Resolver la desigualdad

$$ x^4-x^3-5x^2+3x+6\leq 0, $$

si está dado que $x=2$ y $x=-1$ son raíces del polinomio del lado izquierdo.

Solución: Podemos tratar de aplicar el método de la serpiente que hemos visto en el capítulo 2. Antes de aplicarlo tenemos que factorizar el polinomio $f(x)$ del lado izquierdo.

Según el teorema de Besout, la factorización del polinomio $f(x)$ es

$$ f(x)=(x-2)q(x). $$

Podemos encontrar el cociente $q(x)$ por medio de la división sintética.

$$ \begin{array}{rrrrr|c} 1&-1&-5&3&6 \ \\ \ & 2 & 2 & -6 & -6 & 2 \\ \hline 1& 1 & -3 & -3 & 0 \ \\ \end{array} $$

Ya que el último número en el renglón de abajo es cero, entonces $2$ es la raíz de $f(x).$ Los otros números definen el cociente: $q(x)=x^3+x^2-3x-3.$

En las condiciones del ejemplo se dice que $x=-1$ es una raíz de $f(x).$ Por lo tanto

$$ 0=f(-1)=(-1-2)q(-1)=-3q(-1). $$

Es decir, $q(-1)=0$ y $x=-1$ también es la raíz de $q(x).$ Según el teorema de Besout, la factorización del polinomio $q(x)$ es

$$ q(x)=(x-(-1))q_1(x)=(x+1)q_1(x). $$

Para encontrar el cociente $q_1(x)$ aplicamos la división sintética.

$$ \begin{array}{rrrr|r} 1&1&-3&-3& \ \\ \ & -1 & 0 & 3 & -1 \\ \hline 1& 0 & -3 & 0 & \ \\ \end{array} $$

Entonces $q_1(x)=x^2-3,$ y tenemos la descomposición

$$ f(x)=(x-2)(x+1)(x^2-3). $$

El polinomio cuadrático $q_1(x)$ tiene su propia factorizacón

$$ x^2-3=(x+\sqrt{3})(x-\sqrt{3}). $$

Finalmente encontramos la factorización completa del polinomio $f(x):$

$$ f(x)=(x-2)(x+1)(x+\sqrt{3})(x-\sqrt{3}). $$

Ahora podemos aplicar el método de la serpiente

$$ (x-2)(x+1)(x+\sqrt{3})(x-\sqrt{3})\leq 0. $$ + 3-2 √ √

La respuesta es: $[-\sqrt{3},-1]\cup [\sqrt{3}, 2].$

Encontrar el dominio de la función

$$ \sqrt{2x^4-3x^3-14x^2+2x+4}. $$

Solución: El dominio de la función raíz cuadrática es el conjunto de todos los números no negativos. Es decir, un número $x$ pertenece al dominio de la función dada si y solo si

$$ 2x^4-3x^3-14x^2+2x+4\geq 0. $$

Por lo tanto, nuestra tarea es resolver esta desigualdad.

Podemos aplicar el método de la serpiente. Antes de hacerlo, tenemos que factorizar el polinomio $f(x)$ del lado izquierdo por medio del teorema de Besout.

Para usar el teorema de Besout, necesitamos encontrar las raíces de $f(x).$ Por lo tanto, buscaremos las raíces racionales de este polinomio.

Tenemos, $a_0=4,$ $a_4=2.$

Los factores de $a_0$ son $\pm 1, \pm 2, \pm 4.$

Los factores de $a_4$ son $\pm 1, \pm 2.$

Por lo que, si $f(x)$ tiene raíces racionales éstas deberán ser alguno de los siguientes números:

$$ a={p\over q}\in \{ \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm {1\over 2}\}. $$

Es decir, tenemos una lista de ocho números sospechosos. Podemos verificarlos uno por uno usando el esquema de Horner.

2 −3 −14 2 4 2 −1 −15 −13 2 −1 −15 −13 −9 1

Según el Teorema de Besout, $f(1)=-9\neq 0.$ Por lo tanto $x=1$ no es una raíz.

2 −3 −14 2 4 −2 5 9 −11 2 −5 −9 11 −7 −1

Aplicando el Teorema de Besout, tenemos $f(-1)=-7\neq 0.$ Por lo tanto $x=-1$ tampoco es una raíz.

2 −3 4 2 1 −14 2 4 2 −24 −44 −12 −22 −40 2

Otra vez un fracaso: $f(2)=-40\neq 0,$ y $x=2$ no es una raíz.

2 −3 −14 2 4 −4 14 0 −4 2 −7 0 2 0 −2

Entonces $x=-2$ es una raíz, y obtenemos la factorización

$$ f(x)=(x-(-2))(2x^3-7x^2+2)=(x+2)(2x^3-7x^2+2). $$

Ahora podemos aplicar el Teorema sobre raíces racionales al polinomio $q(x)=2x^3-7x^2+2.$

En este caso $a_0=2,$ $a_3=2.$

Los factores de $a_0$ son $\pm 1, \pm 2.$

Los factores de $a_3$ son $\pm 1, \pm 2.$

Por lo que, si $q(x)$ tiene raíces racionales éstas deberán ser alguno de los siguientes números:

$$ a={p\over q}\in \{ \pm 1, \pm 2, \pm {1\over 2}\}. $$

Los números sospechosos $\pm 1, 2$ ya fueron analizados con una conclusión negativa. Falta considerar los últimos dos números: $x=\pm 1/2.$

2 -7 1 2 -6 0 -3 -3 2 -3/2 1/2 1/2

Este esquema nos da $q(1/2)=1/2\neq 0,$ entonces $x=1/2$ no es una raíz.

Verificamos la última oportunidad:

2 -7 0 2 -1 4 -2 2 -8 4 0 -1/2

Por el Teorema de Besout, $x=-1/2$ es una raíz, y obtenemos la factorización

$$ f(x)=(x+2)(2x^3-7x^2+2)=(x+2)(x+1/2)(2x^2-8x+4). $$

Ahora podemos encontrar las raíces del polinomio $2x^2-8x+4$ usando la fórmula general:

$$ x_{1,2}={-(-8)\pm \sqrt{(-8)^2-4\cdot 2\cdot 4}\over 2\cdot 2}={8\pm \sqrt{32}\over 4}=2\pm \sqrt{2}. $$

Tal que cada polinomio cuadrático $ax^2+bx+c$ tiene su propia factorización

$$ ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2), $$

obtenemos la factorización completa del polinomio $f(x)$:

$$ f(x)=(x+2)(x+1/2)(2x^2-8x+4)=2(x+2)(x+1/2)(x-2-\sqrt{2})(x-2+\sqrt{2}). $$

Ahora ya no tenemos más obstáculos para resolver la desigualdad

$$ 2(x+2)(x+0.5)(x-2-\sqrt{2})(x-2+\sqrt{2})\geq 0 $$

usando el método de la serpiente.

+ + −2 − − 12 2 − 25 √ + √ 2+ 2 2 −

La respuesta es: $(-\infty, -2]\cup [-{1\over 2}, 2-\sqrt{2}]\cup [2+\sqrt{2}, \infty ).$

Encontrar el dominio de la función

$$ \log_8(3x^3+x^2-12x-4). $$

Solución: El dominio de la función logarítmica es el conjunto de todos los números positivos. Por lo tanto, un número $x$ pertenece al dominio de la función dada si y solo si

$$ 3x^3+x^2-12x-4>0. $$

Entonces tenemos que resolver esta desigualdad.

Para aplicar el método de la serpiente, necesitamos factorizar completamente el polinomio $f(x)$ del lado izquierdo. Para usar el teorema de Besout, necesitamos encontrar las raíces de $f(x).$ Por lo tanto, buscaremos las raíces racionales de este polinomio.

Tenemos, $a_0=-4,$ $a_3=3.$ Los factores de $a_0$ son $\pm 1, \pm 2, \pm 4.$

Los factores de $a_3$ son $\pm 1, \pm 3.$

Por lo que, si $f(x)$ tiene raíces racionales estas deberán ser alguno de los siguientes números:

$$ a={p\over q}\in \{ \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm {1\over 3}, \pm {2\over 3} \pm {4\over 3}\}. $$

Es decir, tenemos una lista de doce números sospechosos. Podemos verificarlos uno por uno aplicando la división sintética.

3 3 1 −12 −4 3 4 −8 4 −8 −12 1

Según el Teorema de Besout, $x=1$ no es una raíz de $f(x).$

3 1 -12 -3 2 3 -2 -10 -4 10 6 -1

Otro fracaso: el valor $x=-1$ tampoco es una raíz del polinomio $f(x).$

3 1 −12 −4 6 14 4 3 7 2 0 2

¡Buena suerte! El valor $x=2$ es una raíz. Por el Teorema de Besout, el polinomio tiene la siguiente factorización:

$$ 3x^3+x^2-12x-4=(x-2)(3x^2+7x+2). $$

Buscamos las raíces del polinomio cuadrático $3x^2+7x+2$ usando la fórmula general:

$$ x_{1,2}={-7\pm \sqrt{7^2-4\cdot 3\cdot 2}\over 2\cdot 3}={-7\pm \sqrt{25}\over 6}={-7\pm 5\over 6}, $$

es decir, las raíces son $x_1=-2,$ $x_2=-{1/3}.$ Tal que cada polinomio cuadrático $ax^2+bx+c$ tiene su propia factorización

$$ ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2), $$

hemos encontrado la factorización completa del polinomio $f(x)$:

$$ f(x)=(x-2)(3x^2+7x+2)=3(x-2)(x-(-2))(x-(-1/3))=3(x-2)(x+2)(x+{1\over 3}). $$

Estamos listos para aplicar el método de la serpiente para resolver la desigualdad

$$ 3(x-2)(x+2)(x+{1\over 3})> 0. $$
3 + − −2 + − 13 − 2

La respuesta es: (−2, −1/3) ∪ (2, ∞).

Sea $f=\{ (-18,3); (-4,1); (0,7); (12,1) \}$ y $g(x)=x^3+x^2.$ Resolver la desigualdad

$$ (f\circ g)(x)\geq 2. $$

Solución: primero, debemos notar que $f$ es un conjunto de parejas de números enteros. En el contexto del problema, $f$ actúa como una función. El dominio de esta función es $\{ -18, -4, 0, 12\}$ con valores $f(-18)=3,$ $f(-4)=1,$ $f(0)=7,$ $f(12)=1,$ mientras para todos los otros valores de $x,$ la función $f$ no está definida. Podemos anotarlo en la siguiente forma:

28−18 −4 x= 0 12 7→ f (x) = 3 1 7 1.

Aplicando la definición de la composición de funciones, tenemos

$$ (f\circ g)(x)=f(g(x))=f(x^3+x^2). $$

Por lo tanto, la función $f\circ g$ esta definida solo si $x^3+x^2\in \{ -18, -4, 0, 12\}$:

−18 −4 x3 + x2 = 0 12 7→ 3 1 f (x3 + x2 ) = 7 1 ≥2 <2 ≥2 <2.

Si $x^3+x^2=-18,$ entonces $(f\circ g)(x)=f(x^3+x^2)=3 \geq 2$ y el valor de $x$ es una solución de la desigualdad dada.

Si $x^3+x^2=-4,$ entonces $(f\circ g)(x)=f(x^3+x^2)=1 < 2$ y el valor de $x$ no es una solución de la desigualdad dada.

Si $x^3+x^2=0,$ entonces $(f\circ g)(x)=f(x^3+x^2)=7 \geq 2$ y el valor de $x$ es una solución de la desigualdad.

Si $x^3+x^2=12,$ entonces $(f\circ g)(x)=f(x^3+x^2)=1 < 2$ y el valor de $x$ no es una solución de la desigualdad.

Por lo anterior, falta resolver los dos ecuaciones $x^3+x^2=-18$ y $x^3+x^2=0,$ ó, en otras palabras, tenemos que encontrar todas las raíces de los polinomios $x^3+x^2+18$ y $x^3+x^2.$

Tratamos de encontrar las raíces racionales. Para el primer polinomio, tenemos, $a_0=18,$ $a_3=1.$ Por lo que, si $f(x)$ tiene raíces racionales estas deberán ser alguno de los siguientes números:

$$ a={p\over q}\in \{ \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6, \pm 9 \pm 18\}. $$

Podemos verificarlos uno por uno, aplicando la división sintética.

291 1 1 0 18 1 2 2 2 2 20 1

Según el Teorema de Besout, $x=1$ no es una raíz.

1 1 0 18 −1 0 0 0 0 18 1 −1

Según el Teorema de Besout, $x=-1$ tampoco es una raíz.

1 1 1 0 18 2 6 12 3 6 30 2

Entonces, $x=2$ no es una raíz.

1 1 0 18 −2 2 −4 1 −1 2 14 −2

Es decir, $x=-2$ tampoco es una raíz.

1 1 1 0 18 3 12 36 4 12 54 3

Otro fracaso.

1 1 0 18 −3 6 −18 1 −2 6 0 −3

¡Buena suerte! El valor $x=3$ es una raíz. Por el Teorema de Besout, tenemos la siguiente factorización:

$$ x^3+x^2+18=(x+2)(x^2-2x+6). $$

Buscamos las raíces del cociente $x^2-2x+6$ usando la fórmula general:

$$ x_{1,2}={1\pm \sqrt{(-2)^2-4\cdot 1\cdot 6}\over 2\cdot 1}={1\pm \sqrt{-20}\over 2}, $$

es decir, el polinomio $x^2-2x+6$ no tiene raíces reales. Finalmente vemos que el único valor real de $x,$, que cumple $x^3+x^2=-18$ es $x=3.$

Consideramos la segunda ecuación $x^3+x^2.$. Podemos factorizarla fácilmente:

$$ x^3+x^2=x^2(x+1). $$

De donde vemos que tiene dos raíces $x=0,$ $x=-1.$

La respuesta es: $x=-3,$ $x=0,$ $x=-1.$

Demostrar que $\alpha =-2+3i$ es una raíz del polinomio

$$ f(x)=x^4+2x^3+7x^2-18x+26. $$

Factorizar completamente este polinomio.

Solución: Aplicamos el algoritmo de la división sintética.

1 1 2 7 −18 26 −2 + 3i −9 − 6i 22 + 6i −26 3i −2 − 6i 4 + 6i 0 −2 + 3i

Según el Teorema de Besout, $f(-2+3i)=0.$ Por lo tanto $-2+3i$ es una raíz de $f(x)$ y tenemos la factorización

$$ f(x)=(x+2-3i)(x^3+3ix^2-(2+6i)x+4+6i). $$

Tal que $\bar{\alpha }=-2-3i$ también es una raíz, podemos continuar el algoritmo de factorización.

333i −2 − 6i 4 + 6i −2 − 3i 4 + 6i −4 − 6i 1 −2 2 0 1 −2 − 3i

Este esquema implica la descomposición

$$ f(x)=(x+2-3i)(x+2+3i)(x^2-2x+2). $$

El cociente $x^2-2x+2$ es un polinomio cuadrático, entonces podemos usar la fórmula general para encontrar sus raíces:

$$ x_{1,2}={2\pm \sqrt{4-4\cdot 2}\over 2}={2\pm \sqrt{-4}\over 2}={2\pm \sqrt{4}\cdot \sqrt{-1}\over 2}={2\pm 2i\over 2}=1\pm i. $$

Por lo tanto

$$ x^2-2x+2=(x-1-i)(x-1+i). $$

La respuesta es: $f(x)=(x+2-3i)(x+2+3i)(x-1-i)(x-1+i).$

Encontrar el cociente y el residuo de la divisi\'on del polinomio

$$f(x)=ix^4+(2+2i)x^3-(3-i)x^2+(-3+6i)x-3$$ entre $g(x)=ix^2+(1+i)x-(2-i).$$

Solución: Realizamos el esquema de Euclides para la división:

ix2 + (1 + i)x − (2 − i) x2 + (1 − i)x + 3i ix4 + (2 + 2i)x3 − (3 − i)x2 + (−3 + 6i)x − 3 −ix4 − (1 + i)x3 + (2 − i)x2 (1 + i)x3 − x2 + (−3 + 6i)x − 3 3 2 −(1 + i)x − 2x + (1 − 3i)x 2 −3x + (−2 + 3i)x − 3 3x2 + (3 − 3i)x + (3 + 6i) x + 6i .

En el primer paso, dividimos $ix^4$ entre $ix^2$ y encontramos el máximo exponente del cociente: $x^2.$

En el segundo paso dividimos $(1+i)x^3$ entre $ix^2.$ El resultado, $(1-i)x,$ es otro término del cociente. Tal que $(1-i)(1+i)=2,$ $(1-i)(2-i)=1-3i,$ encontramos el quinto renglón del esquema.

En el tercer paso, dividimos $-3x^2$ entre $ix^2.$ El resultado, $3i,$ es el último término del cociente. Tal que $3i(1+i)=-3+3i,$ $3i(2-i)=3+6i,$ encontramos el séptimo renglón del esquema y el residuo.

La respuesta es: $\ q(x)=x^2+(1-i)x+3i,$ $\ r(x)=x+6i.$