{"id":133,"date":"2021-08-02T15:23:56","date_gmt":"2021-08-02T21:23:56","guid":{"rendered":"http:\/\/virtual.cuautitlan.unam.mx\/intar\/sistdig\/?page_id=133"},"modified":"2021-08-02T15:46:41","modified_gmt":"2021-08-02T21:46:41","slug":"algebra-booleana","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/virtual.cuautitlan.unam.mx\/intar\/sistdig\/algebra-booleana\/","title":{"rendered":"\u00c1lgebra Booleana"},"content":{"rendered":"

\u00c1lgebra Booleana<\/strong><\/h1>\n

El \u00e1lgebra de Boole es una herramienta dise\u00f1ada para poder representar proposiciones l\u00f3gicas en forma algebraica. Desarrollada originalmente en 1847 por George Boole<\/em>.<\/p>\n

Actualmente, esta \u00e1lgebra es utilizada ampliamente en el dise\u00f1o y simplificaci\u00f3n de sistemas digitales binarios, es decir, sistemas que basan todo su comportamiento en los valores $\\{0, 1\\}$.<\/p>\n

El \u00e1lgebra de Boole ha sido de gran utilidad para poder generar circuitos l\u00f3gicos eficientes y simplificados en su m\u00ednima expresi\u00f3n, \u00bfQu\u00e9 significa esto?<\/p>\n

Un circuito digital est\u00e1 compuesto por un conjunto de entradas con valores binarios, las combinaciones que se pueden formar por medio de estas entradas determinar\u00e1n el comportamiento que se tendr\u00e1 en la o las salidas del sistema, es decir, tenemos un conjunto de actuadores de salida dependientes del comportamiento de las variables de entrada. Dependiendo del n\u00famero de variables de entrada, se tiene el n\u00famero de combinaciones que se pueden generar por medio de $NC=2^{n}$, d\u00f3nde $n$ es el n\u00famero de entradas, sin embargo, el n\u00famero de salidas puede ser definido sin ninguna restricci\u00f3n.<\/p>\n

Las combinaciones mencionadas pueden ser representadas por medio de funciones l\u00f3gicas o algebraicas, por ejemplo, la combinaci\u00f3n de entrada $0101$ puede ser representada por medio de la funci\u00f3n $\\overline{A}B\\overline{C}D$, donde la barra por encima de una variable indica que tiene un valor negado o 0. La suma de estas combinaciones genera ecuaciones l\u00f3gicas extensas que tienen el mismo comportamiento l\u00f3gico que una expresi\u00f3n m\u00e1s peque\u00f1a, por ejemplo la siguiente suma de funciones:<\/p>\n

$$S=\\overline{A}\\overline{B}CD+\\overline{A}BC+C\\cdots\\cdots (1)$$<\/p>\n

Tiene el mismo comportamiento l\u00f3gico que la funci\u00f3n<\/p>\n

$$S=\\overline{A}C (2)\\cdots\\cdots$$<\/p>\n

Es f\u00e1cil notar, que la segunda funci\u00f3n es mucho m\u00e1s simple que la primera. Esta simplificaci\u00f3n se logra aplicando los axiomas l\u00f3gicos booleanos a la primera de las funciones presentadas.<\/p>\n

La realizaci\u00f3n de la simplificaci\u00f3n en una funci\u00f3n l\u00f3gica no s\u00f3lo impacta en la funci\u00f3n matem\u00e1ticas, sino que impacta en el gasto realizado en espacio y monetario, ya que entre m\u00e1s elementos tenga una funci\u00f3n l\u00f3gica, en el momento de construir un circuito l\u00f3gico, se tendr\u00e1n m\u00e1s componentes, utilizando mayor espacio en su construcci\u00f3n, y obviamente, invirtiendo mayor cantidad monetaria en la adquisici\u00f3n e instalaci\u00f3n de los mismos.<\/p>\n

Existen 3 compuertas l\u00f3gicas b\u00e1sicas<\/a>, sobre las cuales cae el dise\u00f1o de cualquier circuito l\u00f3gico, la compuerta AND, OR y NOT. Cada operaci\u00f3n que se marca sobre una funci\u00f3n booleana, corresponde a una compuerta; A la compuerta OR, le corresponde la suma; A la compuerta AND, le corresponde la multiplicaci\u00f3n; A la compuerta NOT, le corresponde la negaci\u00f3n. Si contamos el n\u00famero de sumas, multiplicaciones y negaciones que contiene una funci\u00f3n, se puede saber la cantidad de compuertas necesarias para implementar tal funci\u00f3n. Por ejemplo, la funci\u00f3n (1) requiere 2 compuertas OR, 6 compuertas AND y 4 compuertas NOT (Considerando compuertas l\u00f3gicas de dos entradas), mientras que la funci\u00f3n (2) requiere solamente una compuerta AND y una compuerta NOT.<\/p>\n

Debido a que, para la realizaci\u00f3n de las funciones l\u00f3gicas podemos utilizar las combinaciones de variables que den como resultado 1, o las combinaciones que den como resultado 0, las funciones booleanas se pueden expresar como suma de productos o producto de sumas, respectivamente. Una suma de productos esta definida en la forma $ S= \\overline{A}BC+A\\overline{B}\\overline{C}+AB\\overline{C}$, mientras que un producto de sumas est\u00e1 definido por $ S= (\\overline{A}+B+C)(A+\\overline{B}+\\overline{C})(A+B+\\overline{C})$.<\/p>\n

Teoremas del \u00e1lgebra Booleana<\/em><\/strong><\/p>\n

Para minimizar las diferentes funciones booleanas, es necesario utilizar los teoremas l\u00f3gicos de Boole. Los teoremas de Boole son siempre verdaderos, es decir, son axiomas que no necesitan prueba, se enlistan en pares porque cada ley v\u00e1lida tiene una dualidad entre 0 y 1 y\/o + y \u22c5<\/strong>. Con estos teoremas facilitamos el an\u00e1lisis y obtenemos una reducci\u00f3n de los circuitos digitales.<\/p>\n

En la tabla 1, se muestra una lista con cada uno de los teoremas y su dual, es necesario mencionar que a cada teorema se le esta representando con una figura y color, es to se hace con la intenci\u00f3n de indicar cuando se ha usado cada teorema en la resoluci\u00f3n de funciones que se tendr\u00e1n m\u00e1s adelante.<\/p>\n

Tabla1.<\/strong> Funciones y su figura identificadora.<\/p>\n

\"\"<\/a><\/p>\n

A continuaci\u00f3n, se muestra algunos ejemplos en el que se podr\u00e1 apreciar la utilidad de los teoremas antes mencionados y como se aplican.<\/p>\n

NOTA:<\/strong> A partir de aqu\u00ed, cada uno de los teoremas mostrados en la tabla 1 que se utilizan en cada uno de los ejemplos, es marcado por una figura y color diferente para que sea m\u00e1s f\u00e1cil poder ubicar que teorema se utiliz\u00f3 en cada ejemplo.<\/p>\n

Ejemplo 1. <\/strong>Reducir la siguiente funci\u00f3n booleana a su m\u00ednima expresi\u00f3n, utilizando los teoremas l\u00f3gicos antes presentados.<\/p>\n

<\/p>\n

En este ejemplo, como se puede observar en la funci\u00f3n, se necesitan 5 compuertas AND, 3 compuertas OR y 1 compuerta NOT, se utilizar\u00e1n los teoremas del algebra de Boole para simplificar esa funci\u00f3n y posteriormente poder armar el circuito.<\/p>\n

Factorizaci\u00f3n de elementos, en este primer paso se buscan variables que compartan m\u00e1s de una secci\u00f3n de la funci\u00f3n, y posteriormente factorizar tal variable, en este caso $A$, obteniendo:<\/p>\n

$$S=A(B+BC+\\overline{C})+BC$$<\/p>\n

Segunda factorizaci\u00f3n de elementos. Dentro del par\u00e9ntesis, se encuentra la variable $B$, que es com\u00fan en cada secci\u00f3n, por lo que podemos factorizarla tambi\u00e9n.<\/p>\n

<\/p>\n

Podemos notar que se utiliza el segundo teorema en su primera dualidad.<\/p>\n

$$A+1=1$$<\/p>\n

Aplicando el teorema, resulta:<\/p>\n

<\/p>\n

Con esto podemos observar que la cantidad de compuertas l\u00f3gicas se ha reducido de 5 a 2 AND, de 3 a 2 OR y la NOT permanece.<\/p>\n

A continuaci\u00f3n, en la figura 1 se muestra el diagrama esquem\u00e1tico del resultado de la reducci\u00f3n de la funci\u00f3n original.<\/p>\n

<\/p>\n

Fig. 1.- Diagrama esquem\u00e1tico de la funci\u00f3n $S=A(B+\\overline{C})+BC$.<\/p>\n

Ejemplo 2. <\/strong>Utilizando \u00e1lgebra booleana, simplifica la siguiente funci\u00f3n l\u00f3gica.<\/p>\n

<\/p>\n

En este ejemplo, como vemos en la funci\u00f3n a resolver, se tienen 5 compuertas AND, 4 compuertas OR y 5 compuerta NOT, se utilizar\u00e1n los teoremas del algebra de Boole para simplificar esa funci\u00f3n y posteriormente poder armar el circuito.<\/p>\n

Factorizaci\u00f3n de elementos. En este primer paso se buscan variables que compartan m\u00e1s de una secci\u00f3n de la funci\u00f3n, y posteriormente factorizar tal variable, en este caso $C$, obteniendo:<\/p>\n

<\/p>\n

Vemos que dentro del par\u00e9ntesis se puede aplicar el teorema 2 de la tabla1, aplicando el teorema, resulta:<\/p>\n

$$S=C+B\\overline{C}+\\overline{A}B\\overline{C}+A\\overline{B}$$<\/p>\n

Segunda factorizaci\u00f3n de elementos. Nuevamente, es posible factorizar la variable $B$, teniendo:<\/p>\n

<\/p>\n

Aplicando el teorema, resulta:<\/p>\n

<\/p>\n

Con esto podemos observar que la cantidad de compuertas l\u00f3gicas se ha reducido de 5 a 2 AND, de 4 a 2 OR y de 5 a 2 NOT.<\/p>\n

Ejemplo 3. <\/strong>Determina la expresi\u00f3n m\u00ednima de la siguiente funci\u00f3n l\u00f3gica.<\/p>\n

En este tercer ejemplo se mostrar\u00e1 como una funci\u00f3n puede tener diferentes soluciones, sin embargo, hay que recordar que aunque visualmente sean diferentes, l\u00f3gicamente representan el mismo comportamiento.<\/p>\n

<\/p>\n

En este ejemplo se tienen 3 compuertas AND, 5 compuertas OR y 5 compuerta NOT, se utilizar\u00e1n los teoremas del algebra de Boole para simplificar esa funci\u00f3n y posteriormente poder armar el circuito.<\/p>\n

Realizaci\u00f3n de las primeras operaciones para quitar los par\u00e9ntesis, es decir, se realizan las multiplicaciones correspondientes, obteniendo:<\/p>\n

<\/p>\n

Aplicando los teoremas marcados, resulta:<\/p>\n

$$S=A\\overline{B}D+BCDA+BCD\\overline{A}+0+BC\\overline{D}+0+C\\overline{D}$$<\/p>\n

Factorizando elementos $BC$, y posteriormente $D$:<\/p>\n

<\/p>\n

Aplicando el teorema, resulta:<\/p>\n

<\/p>\n

Aplicando una \u00faltima factorizaci\u00f3n en la variable C.<\/p>\n

<\/p>\n

Con esto podemos observar que la cantidad de compuertas l\u00f3gicas se ha reducido de 3 a 2 AND, de 5 a 2 OR y de 5 a 2 NOT permanece.<\/p>\n

Segunda opci\u00f3n de soluci\u00f3n.<\/em><\/strong><\/p>\n

<\/p>\n

En este ejemplo se necesitan 3 compuertas AND, 5 compuertas OR y 5 compuerta NOT, se utilizar\u00e1n los teoremas del algebra de Boole para simplificar esa funci\u00f3n y posteriormente poder armar el circuito.<\/p>\n

Realizaci\u00f3n de las primeras operaciones para quitar los par\u00e9ntesis.<\/p>\n

<\/p>\n

Aplicando el teorema, resulta:<\/p>\n

$$S=A\\overline{B}D+BCDA+BCD\\overline{A}+0+BC\\overline{D}+0+C\\overline{D}$$<\/p>\n

Factorizando elementos<\/p>\n

<\/p>\n

Ultima factorizaci\u00f3n posible<\/p>\n

<\/p>\n

Con esto podemos observar que la cantidad de compuertas l\u00f3gicas se ha reducido de 3 a 2 AND, de 5 a 2 OR y de 5 a 2 NOT permanece.<\/p>\n

La simplificaci\u00f3n ahora es un poco m\u00e1s corta pero el resultado es el mismo. Que en la anterior.<\/p>\n

Tercera forma de soluci\u00f3n<\/em><\/strong><\/p>\n

Ahora se mostrar\u00e1 una manera m\u00e1s de solucionar la misma funci\u00f3n.<\/p>\n

<\/p>\n

En este ejemplo se necesitan 3 compuertas AND, 5 compuertas OR y 5 compuerta NOT, se utilizar\u00e1n los teoremas del algebra de Boole para simplificar esa funci\u00f3n y posteriormente poder armar el circuito.<\/p>\n

Realizaci\u00f3n de las primeras operaciones para quitar los par\u00e9ntesis.<\/p>\n

<\/p>\n

Aplicando el teorema, resulta:<\/p>\n

$$S=A\\overline{B}D+BCDA+BCD\\overline{A}+0+BC\\overline{D}+0+C\\overline{D}$$<\/p>\n

Factorizando elementos.<\/p>\n

<\/p>\n

Ultima factorizaci\u00f3n posible<\/p>\n

<\/p>\n

Con esto podemos observar que la cantidad de compuertas l\u00f3gicas se ha reducido de 3 a 2 AND, de 5 a 2 OR y de 5 a 2 NOT permanece.<\/p>\n

En esta simplificaci\u00f3n vemos que el resultado es diferente, pero la evaluaci\u00f3n l\u00f3gica es correcta, hay que observar, que etas variaciones se an principalmente por las variables que se van factorizando en cada paso, esta situaci\u00f3n se repite mucho en este tipo de funciones, es decir, existen varias variables que pueden ser factorizadas, y el lector puede decidir factorizar la que m\u00e1s le convenga.<\/p>\n

Podemos obtener las tablas de verdad de los resultados obtenidos en cada uno de los casos calculados en la p\u00e1gina https:\/\/www.dcode.fr\/boolean-truth-table<\/a> y de esta forma verificar su igualdad l\u00f3gica.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

\u00c1lgebra Booleana El \u00e1lgebra de Boole es una herramienta dise\u00f1ada para poder representar proposiciones l\u00f3gicas en forma algebraica. Desarrollada originalmente en 1847 por George Boole. Actualmente, esta \u00e1lgebra es utilizada ampliamente en el dise\u00f1o y simplificaci\u00f3n de sistemas digitales binarios, es decir, sistemas que basan todo su comportamiento en los valores $\\{0, 1\\}$. El \u00e1lgebra … <\/p>\n

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