{"id":1108,"date":"2021-06-17T22:00:34","date_gmt":"2021-06-18T03:00:34","guid":{"rendered":"http:\/\/virtual.cuautitlan.unam.mx\/intar\/?page_id=1108"},"modified":"2021-07-05T17:09:45","modified_gmt":"2021-07-05T22:09:45","slug":"transformada-wavelet","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/virtual.cuautitlan.unam.mx\/intar\/?page_id=1108","title":{"rendered":"Transformada Wavelet"},"content":{"rendered":"

Transformada wavelet<\/strong><\/h1>\n

Las wavelets<\/em> son se\u00f1ales, o formas de onda, las cuales tienen una duraci\u00f3n limitada y un valor promedio de cero. Las wavelets pueden ser irregulares y asim\u00e9tricas, caracter\u00edsticas que les otorgan una mejor adaptaci\u00f3n en el an\u00e1lisis de se\u00f1ales en comparaci\u00f3n con la transformada de Fourier. Existen muchos tipos de wavelets como la wavelet Haar, la familia de wavelets Daubechies, la wavelet sombrero mexicano, la wavelet Symlet, etc. La figura 1, muestra una de las wavelets m\u00e1s populares, la Symlet 4.<\/p>\n

\"\"<\/a><\/p>\n

Fig. 1.- Wavelet Symlet 4 o Sym 4.<\/p>\n

Para ver una colecci\u00f3n de diferentes familias de wavelets, se pueden dirigir al trabajo de\u00a0 Elena Pinto Moreno, que da una colecci\u00f3n muy completa:<\/p>\n

https:\/\/e-archivo.uc3m.es\/bitstream\/10016\/16582\/1\/PFC_Elena_Pinto_Moreno_Anexos.pdf<\/a><\/p>\n

La elecci\u00f3n de una wavelet depender\u00e1 del tipo de se\u00f1al que se pretenda analizar, as\u00ed como la informaci\u00f3n que se quiera obtener de ella. Podemos seguir dos criterios para la selecci\u00f3n de la wavelet. El primero consiste en buscar varias wavelets que tengan una forma parecida a nuestra se\u00f1al y el segundo se basa en realizar pruebas con diferentes wavelets seleccionando aquella que obtenga los mejores resultados.<\/p>\n

La wavelet elegida, para implementar la transformada wavelet a una se\u00f1al, se le asigna el nombre de wavelet madre. Se le conoce como wavelet madre ya que ser\u00e1 esta la que sufra algunas modificaciones para realizar el an\u00e1lisis: se expandir\u00e1 o se comprimir\u00e1, y se trasladar\u00e1 a lo largo de la se\u00f1al. Estas modificaciones est\u00e1n a cargo de los par\u00e1metros de escalamiento y desplazamiento. En el escalamiento se alarga o se comprime la wavelet, lo que nos permite ver tanto los detalles como los componentes de la se\u00f1al de forma global. Mientras que el desplazamiento se refiere al recorrido de la wavelet a lo largo de la se\u00f1al. Podemos definir a la wavelet madre $\\psi_{a,b} (t)$ , a\u00f1adi\u00e9ndole los par\u00e1metros de escalamiento y de desplazamiento, mediante la siguiente f\u00f3rmula:<\/p>\n

$$\\psi_{a,b}(t)=\\frac{1}{\\sqrt{a}}\\cdot\\psi\\left(\\frac{t-b}{a}\\right)$$<\/p>\n

donde\u00a0 $a$ es el escalamiento y\u00a0 $b$ es el desplazamiento.<\/p>\n

De forma general la transformada wavelet \u00addescompone una se\u00f1al mediante el uso de las versiones escaladas y desplazadas de la wavelet madre. Podemos decir que la wavelet act\u00faa como un filtro pasa banda el cual solo permite el paso de ciertos componentes de la se\u00f1al a una determinada frecuencia.<\/p>\n

Existen distintos tipos de transformada wavelet como lo son la transformada wavelet continua, la transformada wavelet discreta y la transformada wavelet packet. A continuaci\u00f3n, se explicar\u00e1n las dos primeras.<\/p>\n

La transformada wavelet continua (CWT) se define como la suma de la multiplicaci\u00f3n de una se\u00f1al continua y la wavelet madre en su forma desplazada y escalada $\\psi_{a,b} (t)$. Tiene la forma:<\/p>\n

$$CWT(a,b)=\\frac{1}{\\sqrt{a}}\\int_{-\\infty}^{\\infty}\u00a0 x(t)\\psi\\left(\\frac{t-b}{a}\\right)dt$$<\/p>\n

donde\u00a0 $X(t)$ es la se\u00f1al continua.<\/p>\n

Los par\u00e1metros de escalamiento y desplazamiento dan paso a la obtenci\u00f3n de los coeficientes wavelet. Los coeficientes wavelet nos indican cuanta relaci\u00f3n hay entre la se\u00f1al y la wavelet madre. Esta relaci\u00f3n nos permite conocer los componentes frecuenciales de la se\u00f1al.<\/p>\n

La transformada wavelet discreta (DWT) se obtiene al discretizar los par\u00e1metros de desplazamiento y escalamiento dentro de la transformada wavelet continua. Usualmente los valores que se implementan para realizar esto son:<\/p>\n

$$a=2^{-j}$$<\/p>\n

$$b=k2^{-j}$$<\/p>\n

donde $a$\u00a0 es el escalamiento,\u00a0 $b$ es el desplazamiento y $j, k$ deben ser valores enteros.<\/p>\n

Definidos los par\u00e1metros de escalamiento y desplazamiento con valores discretos, la wavelet madre toma la forma:<\/p>\n

$$\\psi_{j,k}(t)=2^{\\frac{j}{2}}\\psi\\left(2^{j}t-k\\right); j,k\\in Z$$<\/p>\n

Esto \u00faltimo permite definir la transformada wavelet discreta como:<\/p>\n

$$DWT_{j,k}=2^{\\frac{j}{2}}\\int_{-\\infty}^{\\infty}\u00a0 x(t)\\psi\\left(2^{j}t-k\\right)dt$$<\/p>\n

donde $X(t)$ es una se\u00f1al discreta.<\/p>\n

La transformada wavelet discreta nos permite reconstruir la se\u00f1al una vez que calculamos los coeficientes wavelet. Para realizar esta reconstrucci\u00f3n se necesita de dos funciones: la funci\u00f3n wavelet $\\psi (t)$\u00a0 y $\\phi (t)$ la funci\u00f3n escala . La reconstrucci\u00f3n de la se\u00f1al se obtiene mediante la siguiente ecuaci\u00f3n:<\/p>\n

$$x(t)=\\sum_{k}\\sum_{j}c_{j,k}\\phi (t)+\\sum_{k}\\sum_{j}d_{j,k}\\psi (t); j,k\\in Z$$<\/p>\n

Donde\u00a0 $c_{j,k}$ son los coeficientes de escala o de aproximaci\u00f3n y $d_{j,k}$ \u00a0representa los coeficientes wavelet o de detalle. Cabe mencionar que los coeficientes de aproximaci\u00f3n est\u00e1n asociados con la funci\u00f3n escala, mientras que los coeficientes de detalle lo est\u00e1n con la funci\u00f3n wavelet.<\/p>\n

Los coeficientes de aproximaci\u00f3n y de detalle nos permiten obtener informaci\u00f3n sobre las caracter\u00edsticas de la se\u00f1al, adem\u00e1s con su manipulaci\u00f3n podemos obtener una nueva se\u00f1al eliminando componentes no deseados de la se\u00f1al original.<\/p>\n

El desarrollo de algoritmos para evaluar el DWT condujo a la implementaci\u00f3n de “bancos de filtros<\/em>“. Estos filtros corresponden a un filtro pasa bajo y un filtro\u00a0 pasa alto, cuando la se\u00f1al original pasa a trav\u00e9s de tales filtros, se obtienen los coeficientes de salida $c_{j,k}$ y $d_{j,k}$ respectivamente. Se puede obtener una descomposici\u00f3n de una se\u00f1al a diferentes niveles pasando los coeficientes de escala obtenidos del filtrado anterior por un par de filtros id\u00e9nticos, obteniendo as\u00ed los coeficientes del siguiente nivel. La figura 2 representa este proceso.<\/p>\n

\"\"<\/a><\/p>\n

Fig. 2.- Proceso de filtrado de una se\u00f1al para la extracci\u00f3n de caracter\u00edsticas, cada par de filtros en un determinado nivel, genera los coeficientes que ser\u00e1n pasados al siguiente nivel.<\/p>\n

La obtenci\u00f3n de tales coeficientes debido a que, ya sea con su uso o su manipulaci\u00f3n las caracter\u00edsticas que describen una se\u00f1al pueden ser obtenidas.<\/p>\n

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Transformada wavelet Las wavelets son se\u00f1ales, o formas de onda, las cuales tienen una duraci\u00f3n limitada y un valor promedio de cero. Las wavelets pueden ser irregulares y asim\u00e9tricas, caracter\u00edsticas que les otorgan una mejor adaptaci\u00f3n en el an\u00e1lisis de se\u00f1ales en comparaci\u00f3n con la transformada de Fourier. Existen muchos tipos de wavelets como la … <\/p>\n

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