{"id":592,"date":"2021-07-30T12:20:21","date_gmt":"2021-07-30T18:20:21","guid":{"rendered":"http:\/\/virtual.cuautitlan.unam.mx\/intar\/ime\/?page_id=592"},"modified":"2021-07-30T12:51:55","modified_gmt":"2021-07-30T18:51:55","slug":"reogramas-diagramas-de-flujo-de-senal","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/virtual.cuautitlan.unam.mx\/intar\/ime\/reogramas-diagramas-de-flujo-de-senal\/","title":{"rendered":"Reogramas (Diagramas de flujo de se\u00f1al)"},"content":{"rendered":"

Reogramas<\/strong><\/h1>\n

im\"\"<\/a>Imagen recuperada de https:\/\/pixabay.com\/es\/illustrations\/marca-marcador-mano-escribir-1577991\/<\/a><\/p>\n

Los reogramas pueden verse como una forma simplificada de un diagrama de bloques, en este caso, en lugar de ir desarrollando cada una de las interacciones de los bloques e ir generando un nuevo diagrama m\u00e1s simple que el anterior hasta llegar a la funci\u00f3n de transferencia total (FT), en el reograma se utiliza una f\u00f3rmula para llegar a dicha FT de forma m\u00e1s r\u00e1pida. La f\u00f3rmula utilizada es la f\u00f3rmula de Mason, que nos dice que<\/p>\n

$$FT=\\frac{F(s)}{F(i)}=\\frac{\\sum_{k=1}^{N} P_k \\Delta_k}{\\Delta}$$<\/p>\n

D\u00f3nde:<\/p>\n

$$\\Delta=1-\\sum L_{a}+\\sum L_{a}L_{b}-\\sum L_{a}L_{b}L_{c}+\\cdots +(-1)^{m}\\sum\\cdots +\\cdots$$<\/p>\n

$\\sum L_a$ = Ganancia de lazo simple (sumatoria de todos los lazos del reograma).<\/p>\n

$\\sum L_{a}L_{b}$ = Ganancia de lazo doble (sumatoria de todos los producto de pares de lazos que no se tocan).<\/p>\n

$\\sum L_{a}L_{b}L_{c}$ = Ganancia de lazo triple (sumatoria de todos los producto de tercias de lazos que no se tocan).<\/p>\n

$P_k$ = El $k$-esimo camino directo del reograma.<\/p>\n

$\\Delta_{k}$ = $\\Delta$ evaluado considerando solo los lazos que no tocan el $k$-esimo camino directo del reograma.<\/p>\n

$N$ = N\u00famero de caminos directos del reograma.<\/p>\n

Para poder aplicar esta f\u00f3rmula, es necesario identificar ciertos comportamientos dentro del diagrama de flujo de se\u00f1ales, primero que nada, es necesario identificar los caminos directos; Un camino directo es aquel que permite el paso sin interrupciones desde el punto de inicio hasta el punto final del reograma, este camino se define en funci\u00f3n de las flechas de direcci\u00f3n de cada una de las ramificaciones existentes entre los nodos. Una vez encontrados los caminos directos, es necesario identificar los lazos; Un lazo es aquel que parte de un nodo $A$ y llega al mismo nodo $A$ de una forma natural y directa, es decir, las flechas de flujo te llevar\u00e1n al nodo mencionado, sin interrupciones o repeticiones en alg\u00fan punto.<\/p>\n

Los elementos que componen un reograma, se muestra en la figura 1.<\/p>\n

<\/p>\n

Fig. 1.- Elementos que componen una representaci\u00f3n de diagramas de flujo de se\u00f1al. a) Identificado como un nodo, b) Una ramificaci\u00f3n con una ganancia $m$, c) Una ramificaci\u00f3n con una ganancia igual a 1, d) Ramificaci\u00f3n con la multiplicaci\u00f3n $V_{in}\\cdot m$, e) Nodo con una salida explicita, f) Un elemento de suma, g) Representaci\u00f3n de un lazo simple, h) Representa la suma $Z=aX+bY$. Imagen obtenida de https:\/\/commons.wikimedia.org\/wiki\/File:Elements_of_a_signal_flow_graph.png<\/a><\/p>\n

Para mostrar el comportamiento an\u00e1logo entre los diagramas de bloques y los diagramas de flujo de se\u00f1al, se utilizar\u00e1 la figura 2, en la cual se muestra una representaci\u00f3n en bloques y una en flujo.<\/p>\n

<\/p>\n

Fig. 2.- Comportamiento an\u00e1logo entre a) un diagrama de bloques y b) un diagrama de flujo de se\u00f1al.<\/p>\n

En el caso de a) de la figura 2, sabemos que esta representaci\u00f3n de retroalimentaci\u00f3n puede ser resuelta por medio de la f\u00f3rmula 13, del conjunto de reglas que se puede ver aqu\u00ed<\/a>, dando como resultado:<\/p>\n

$$FT=\\frac{G(S)}{1+G(S)H(S)}$$<\/p>\n

Ahora bien, si utilizamos la regla de Mason para definir la funci\u00f3n de transferencia del flujograma de la figura 2 b), vemos que primero hay que obtener los caminos directos y los lazos, en este caso el \u00fanico camino directo est\u00e1 definido por $P_{1}=1\\cdot G(S)$, y el diagrama solo cuenta con un lazo, definido por $L_{1}=\u2013H(S)G(S) $, a partir de aqu\u00ed, se puede calcular $\\Delta_1$ correspondiente al camino directo $P_1$, tal que $\\Delta_{1}=1-\\sum L_{a}=1$, ya que $L_a$ corresponde a todos los lazos que no tocan al camino $P_1$, sin embargo, en este caso no existe lazo que cumpla con tal condici\u00f3n. Aplicando la regla de Mason al diagrama de la figura 2, tenemos:<\/p>\n

$$FT=\\frac{F(s)}{F(i)}=\\frac{\\sum_{k=1}^{N} P_k \\Delta_k}{\\Delta}= \\frac{G(S)}{1-(-H(S)G(S))}= \\frac{G(S)}{1+H(S)G(S)}$$<\/p>\n

Es posible observar que la FT resultante tanto del diagrama de bloques como del flujograma es el mismo.<\/p>\n

Para hacer m\u00e1s visible el uso de la f\u00f3rmula de Mason, se resolver\u00e1 el diagrama de la figura 3.<\/p>\n

<\/p>\n

Fig. 3.- Reograma a resolver.<\/p>\n

Para el diagrama de la figura 3, primero que nada, es necesario visualizar y definir los caminos directos que existen entre el nodo $a$ y el nodo $h$, inicio y t\u00e9rmino del diagrama, respectivamente.<\/p>\n

En la figura 4 se pueden ver los 4 caminos directos que se pueden encontrar.<\/p>\n

<\/p>\n

a)<\/p>\n

<\/p>\n

b)<\/p>\n

Fig. 4.- Visualizaci\u00f3n de los caminos directos que tiene el diagrama de flujo de se\u00f1al. a) Muestra os caminos $P_1$ y $P_2$, b) Muestra los caminos $P_3$ y $P_4$.<\/p>\n

Los caminos directos de la figura 4, se denominan como:<\/p>\n

$$P_{1}=G_{1}G_{2}G_{3}G_{4}G_{5}G_{6}G_{7}$$<\/p>\n

$$ P_{2}=G_{8}G_{6}G_{7}$$<\/p>\n

$$P_{3}=G_{1}G_{2}G_{10}$$<\/p>\n

$$P_{4}=G_{1}G_{9}G_{3}G_{4}G_{5}G_{6}G_{7}$$<\/p>\n

Ahora, es necesario encontrar los lazos dentro del diagrama, los que se pueden observar en la figura 5.<\/p>\n

<\/p>\n

a)<\/p>\n

b)<\/p>\n

Fig. 5.- Lazos del diagrama de flujo de se\u00f1ales. a) Muestra los lazos 1 al 4, b) Muestra el lazo 5, que est\u00e1 un poco m\u00e1s \u201cescondido\u201d que los dem\u00e1s.<\/p>\n

De acuerdo a los lazos identificados en la figura 5, los podemos definir como:<\/p>\n

$$L_{1}=-H_{1}G_{1}G_{2}$$<\/p>\n

$$L_{2}=-H_{3}G_{4}$$<\/p>\n

$$L_{3}=-H_{2}G_{5}$$<\/p>\n

$$L_{4}=-H_{4}G_{6}$$<\/p>\n

$$L_{5}=-H_{1}G_{1}G_{9}$$<\/p>\n

De este conjunto de lazos, podemos identificar pares de ellos que no se tocan entre si (en ning\u00fan punto ni nodo), tal que:<\/p>\n

$$L_{1}L_{2}$$<\/p>\n

$$L_{1}L_{3}$$<\/p>\n

$$L_{1}L_{4}$$<\/p>\n

$$L_{2}L_{4}$$<\/p>\n

$$L_{5}L_{2}$$<\/p>\n

$$L_{5}L_{3}$$<\/p>\n

$$L_{5}L_{4}$$<\/p>\n

En la misma manera, podemos identificar tercias de ellos que no se tocan entre si (en ning\u00fan punto ni nodo), tal que:<\/p>\n

$$L_{1}L_{2}L_{4}$$<\/p>\n

$$L_{5}L_{2}L_{4}$$<\/p>\n

Este proceso lo seguir\u00edamos realizando si el reograma tuviera los suficientes lazos para seguir armando conjuntos de 4 lazos que no se tocan, 5 lazos, etc.<\/p>\n

Una vez que hemos determinado todos sus componentes, podemos calcular los valores de $\\Delta_k$, recordando que se calcula un valor de delta para cada uno de los caminos directos, por lo que tenemos 4 deltas.<\/p>\n

$$\\Delta_{1}=1$$<\/p>\n

Este valor de uno es debido a que $P_1$ toca a todos los lazos, por lo tanto no se le agrega ninguno de ellos a la expresi\u00f3n.<\/p>\n

$$\\Delta_{2}=1-L_{2}$$<\/p>\n

Este resultado se da debido a que $P_2$ toca en al menos un punto a todos los lazos, exceptuando a $L_{2}$. A $L_{1}$ y $L_{5}$, los toca en el nodo $a$; a $L_{3}$ y $L_{4}$, los toca en, al menos, el nodo $f$.<\/p>\n

$$\\Delta_{3}=1-(L_{2}+L_{3}+L_{4})$$<\/p>\n

En este caso, $P_3$ toca a $L_{1}$ y a $L_{5}$ en los nodos $a$, $b$ y $c$.<\/p>\n

$$\\Delta_{4}=1$$<\/p>\n

$P_{4}$ toca a todos los lazos.<\/p>\n

Una vez que se han definido todos los elementos del diagrama de flujo de se\u00f1al, s\u00f3lo queda sustituir en la f\u00f3rmula de Mason, tal que:<\/p>\n

$$FT=\\frac{F(s)}{F(i)}=\\frac{\\sum_{k=1}^{N} P_k \\Delta_k}{\\Delta}$$<\/p>\n

 <\/p>\n

$${\\scriptsize FT=\\frac{P_{1}\\Delta_{1}+P_{2}\\Delta_{2}+P_{3}\\Delta_{3}+P_{4}\\Delta_{4}+P_{5}\\Delta_{5}}{1-(L_{1}+L_{2}+L_{3}+L_{4}+L_{5})+(L_{1}L_{2}+L_{1}L_{3}+L_{1}L_{4}+L_{2}L_{4}+L_{5}L_{2}+L_{5}L_{3}+L_{5}L_{4})-(L_{1}L_{2}L_{4}+L_{5}L_{2}L_{4})}}$$<\/p>\n

Para observar la funci\u00f3n de transferencia desglosada, s\u00f3lo es necesario sustituir los valores de los caminos directos, los lazos y los deltas en la expresi\u00f3n anterior.<\/p>\n

De esta forma, se utiliza la f\u00f3rmula de Mason para obtener la FT de sistemas complejos.<\/p>\n

 <\/p>\n

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