{"id":547,"date":"2021-07-21T19:20:12","date_gmt":"2021-07-22T01:20:12","guid":{"rendered":"http:\/\/virtual.cuautitlan.unam.mx\/intar\/ime\/?page_id=547"},"modified":"2021-07-22T14:46:39","modified_gmt":"2021-07-22T20:46:39","slug":"robots-moviles","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/virtual.cuautitlan.unam.mx\/intar\/ime\/robots-moviles\/","title":{"rendered":"Robots m\u00f3viles"},"content":{"rendered":"<h1><strong>Rob\u00f3tica m\u00f3vil<\/strong><\/h1>\n<p>Uno de los tipos particulares dentro del universo que engloba la rob\u00f3tica, es la rob\u00f3tica m\u00f3vil. En esta secci\u00f3n se revisar\u00e1n algunos de los aspectos base de los robots m\u00f3viles<\/p>\n<p>Para ingresar al tema, primero que nada se debe de repasar el concepto de vector y sus caracter\u00edsticas.<\/p>\n<p>Un vector es un conjunto ordenado de $n$ n\u00fameros reales. Se representa por una flecha o un punto en el espacio de dimensi\u00f3n $n$, y es bien conocido porque tiene magnitud, direcci\u00f3n y sentido.<br \/>\nSe define a un vector columna de [n $\\times$ 1] como:<\/p>\n<p>$$<br \/>\nV=\\left[<br \/>\n\\begin{array}{c}<br \/>\nv_{1} \\\\<br \/>\n\\vdots \\\\<br \/>\nv_{n}%<br \/>\n\\end{array}%<br \/>\n\\right]<br \/>\n$$<br \/>\ny a un vector fila de [1 $\\times$ n] como:<br \/>\n$$<br \/>\nV=\\left[<br \/>\n\\begin{array}{ccc}<br \/>\nv_{1} &amp; \\cdots &amp; v_{n}%<br \/>\n\\end{array}%<br \/>\n\\right]<br \/>\n$$<\/p>\n<p>En la figura 1, se puede ver la representaci\u00f3n gr\u00e1fica de un vector de dos dimensiones.<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><a href=\"http:\/\/virtual.cuautitlan.unam.mx\/intar\/ime\/wp-content\/uploads\/sites\/15\/2021\/07\/rm1.jpg\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter wp-image-566 size-full\" src=\"http:\/\/virtual.cuautitlan.unam.mx\/intar\/ime\/wp-content\/uploads\/sites\/15\/2021\/07\/rm1.jpg\" alt=\"\" width=\"527\" height=\"520\" srcset=\"https:\/\/virtual.cuautitlan.unam.mx\/intar\/ime\/wp-content\/uploads\/sites\/15\/2021\/07\/rm1.jpg 527w, https:\/\/virtual.cuautitlan.unam.mx\/intar\/ime\/wp-content\/uploads\/sites\/15\/2021\/07\/rm1-300x296.jpg 300w, https:\/\/virtual.cuautitlan.unam.mx\/intar\/ime\/wp-content\/uploads\/sites\/15\/2021\/07\/rm1-100x100.jpg 100w\" sizes=\"(max-width: 527px) 100vw, 527px\" \/><\/a>Fig. 1.- Vector en un espacio 2D.<\/p>\n<h2><strong>Operaciones con vectores:<\/strong><\/h2>\n<p>Se pueden realizar diferentes operaciones aritm\u00e9ticas con los vectores, tales como:<\/p>\n<ul>\n<li style=\"text-align: center;\">Suma y Resta: Los vectores pueden ser sumados matem\u00e1ticamente en la siguiente forma:\n<p style=\"text-align: left;\">$$<br \/>\n\\left[<br \/>\n\\begin{array}{c}<br \/>\nv_{1} \\\\<br \/>\nv_{2}%<br \/>\n\\end{array}%<br \/>\n\\right] \\pm \\left[<br \/>\n\\begin{array}{c}<br \/>\nw_{1} \\\\<br \/>\nw_{2}%<br \/>\n\\end{array}%<br \/>\n\\right] =\\left[<br \/>\n\\begin{array}{c}<br \/>\nw_{1} \\\\<br \/>\nw_{2}%<br \/>\n\\end{array}%<br \/>\n\\right] \\pm \\left[<br \/>\n\\begin{array}{c}<br \/>\nv_{1} \\\\<br \/>\nv_{2}%<br \/>\n\\end{array}%<br \/>\n\\right] =\\left[<br \/>\n\\begin{array}{c}<br \/>\nv_{1}\\pm w_{1} \\\\<br \/>\nv_{2}\\pm w_{2}%<br \/>\n\\end{array}%<br \/>\n\\right]<br \/>\n$$<br \/>\nlo que gr\u00e1ficamente se puede ver como la figura 2,<\/p>\n<p><a href=\"http:\/\/virtual.cuautitlan.unam.mx\/intar\/ime\/wp-content\/uploads\/sites\/15\/2021\/07\/rm2.jpg\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter wp-image-565 size-full\" src=\"http:\/\/virtual.cuautitlan.unam.mx\/intar\/ime\/wp-content\/uploads\/sites\/15\/2021\/07\/rm2.jpg\" alt=\"\" width=\"537\" height=\"536\" srcset=\"https:\/\/virtual.cuautitlan.unam.mx\/intar\/ime\/wp-content\/uploads\/sites\/15\/2021\/07\/rm2.jpg 537w, https:\/\/virtual.cuautitlan.unam.mx\/intar\/ime\/wp-content\/uploads\/sites\/15\/2021\/07\/rm2-150x150.jpg 150w, https:\/\/virtual.cuautitlan.unam.mx\/intar\/ime\/wp-content\/uploads\/sites\/15\/2021\/07\/rm2-300x300.jpg 300w, https:\/\/virtual.cuautitlan.unam.mx\/intar\/ime\/wp-content\/uploads\/sites\/15\/2021\/07\/rm2-100x100.jpg 100w\" sizes=\"(max-width: 537px) 100vw, 537px\" \/><\/a>Fig.2.- Suma de vectores.<\/li>\n<li>Multiplicaci\u00f3n\u00a0 de un vector por un escalar. Esta operaci\u00f3n cambia la magnitud del vector, pero no su direcci\u00f3n, tal que:<br \/>\n$$<br \/>\nkV=k\\left[<br \/>\n\\begin{array}{cc}<br \/>\nv_{1} &amp; v_{2}%<br \/>\n\\end{array}%<br \/>\n\\right] =\\left[<br \/>\n\\begin{array}{cc}<br \/>\nkv_{1} &amp; kv_{2}%<br \/>\n\\end{array}%<br \/>\n\\right]<br \/>\n$$<br \/>\ndonde $k$ es una constante, gr\u00e1ficamente se puede ver tal como la figura 3.<\/li>\n<\/ul>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter wp-image-564 size-full\" src=\"http:\/\/virtual.cuautitlan.unam.mx\/intar\/ime\/wp-content\/uploads\/sites\/15\/2021\/07\/rm3.jpg\" alt=\"\" width=\"524\" height=\"522\" srcset=\"https:\/\/virtual.cuautitlan.unam.mx\/intar\/ime\/wp-content\/uploads\/sites\/15\/2021\/07\/rm3.jpg 524w, https:\/\/virtual.cuautitlan.unam.mx\/intar\/ime\/wp-content\/uploads\/sites\/15\/2021\/07\/rm3-150x150.jpg 150w, https:\/\/virtual.cuautitlan.unam.mx\/intar\/ime\/wp-content\/uploads\/sites\/15\/2021\/07\/rm3-300x300.jpg 300w, https:\/\/virtual.cuautitlan.unam.mx\/intar\/ime\/wp-content\/uploads\/sites\/15\/2021\/07\/rm3-100x100.jpg 100w\" sizes=\"(max-width: 524px) 100vw, 524px\" \/>Fig. 3.- Multiplicaci\u00f3n de un vector por un valor escalar.<\/p>\n<ul>\n<li>Magnitud: esta operaci\u00f3n sirve para obtener la longitud total del vector, tal que:<br \/>\n$$<br \/>\n\\left\\Vert V\\right\\Vert =\\sqrt{v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+v_{3}^{2}}<br \/>\n$$<\/li>\n<li>Normalizaci\u00f3n: sirve para obtener el vector unitario y sirve para conocer la direcci\u00f3n de un vector sin importar su longitud, en la forma:<br \/>\n$$<br \/>\n\\hat{V}=\\frac{V}{\\left\\Vert V\\right\\Vert }<br \/>\n$$<\/li>\n<li>La magnitud y la normalizaci\u00f3n pueden observarse en la figura 4.<\/li>\n<\/ul>\n<p style=\"text-align: center;\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter wp-image-563 size-full\" src=\"http:\/\/virtual.cuautitlan.unam.mx\/intar\/ime\/wp-content\/uploads\/sites\/15\/2021\/07\/rm4.jpg\" alt=\"\" width=\"480\" height=\"488\" srcset=\"https:\/\/virtual.cuautitlan.unam.mx\/intar\/ime\/wp-content\/uploads\/sites\/15\/2021\/07\/rm4.jpg 480w, https:\/\/virtual.cuautitlan.unam.mx\/intar\/ime\/wp-content\/uploads\/sites\/15\/2021\/07\/rm4-295x300.jpg 295w\" sizes=\"(max-width: 480px) 100vw, 480px\" \/>Fig. 4.- Magnitud de un vector (negro), y normalizaci\u00f3n del mismo vector (naranja).<\/p>\n<ul>\n<li>Producto punto. Este producto de vectores es una proyecci\u00f3n de un vector $V$ sobre el vector $W$, tambi\u00e9n puede servir para medir el \u00e1ngulo entre estos vectores como se ve a continuaci\u00f3n:<br \/>\n$$<br \/>\nV\\cdot W=VW\\cos \\theta<br \/>\n$$<br \/>\nlo cual tambi\u00e9n puede ser visto de la forma,<\/li>\n<\/ul>\n<p>$$\\begin{eqnarray*}<br \/>\nV\\cdot W&amp;=&amp;\\left[<br \/>\n\\begin{array}{ccc}<br \/>\nv_{1} &amp; v_{2} &amp; v_{3}%<br \/>\n\\end{array}%<br \/>\n\\right] \\left[<br \/>\n\\begin{array}{c}<br \/>\nw_{1} \\\\<br \/>\nw_{2} \\\\<br \/>\nw_{3}%<br \/>\n\\end{array}%<br \/>\n\\right] \\\\<br \/>\n&amp;=&amp;v_{1}w_{1}+v_{2}w_{2}+v_{3}w_{3}=\\sum\\limits_{i}v_{i}w_{i}<br \/>\n\\end{eqnarray*}$$<\/p>\n<p>adem\u00e1s, si los vectores son ortogonales, tenemos que $V\\cdot W=0$.<\/p>\n<p>La representaci\u00f3n gr\u00e1fica del producto punto la podemos ver en la figura 5.<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><a href=\"http:\/\/virtual.cuautitlan.unam.mx\/intar\/ime\/wp-content\/uploads\/sites\/15\/2021\/07\/rm5.jpg\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter wp-image-562 size-full\" src=\"http:\/\/virtual.cuautitlan.unam.mx\/intar\/ime\/wp-content\/uploads\/sites\/15\/2021\/07\/rm5.jpg\" alt=\"\" width=\"529\" height=\"528\" srcset=\"https:\/\/virtual.cuautitlan.unam.mx\/intar\/ime\/wp-content\/uploads\/sites\/15\/2021\/07\/rm5.jpg 529w, https:\/\/virtual.cuautitlan.unam.mx\/intar\/ime\/wp-content\/uploads\/sites\/15\/2021\/07\/rm5-150x150.jpg 150w, https:\/\/virtual.cuautitlan.unam.mx\/intar\/ime\/wp-content\/uploads\/sites\/15\/2021\/07\/rm5-300x300.jpg 300w, https:\/\/virtual.cuautitlan.unam.mx\/intar\/ime\/wp-content\/uploads\/sites\/15\/2021\/07\/rm5-100x100.jpg 100w\" sizes=\"(max-width: 529px) 100vw, 529px\" \/><\/a>Fig.5.- Producto punto entre vectores.<\/p>\n<ul>\n<li>Producto cruz. Este producto de vectores da como resultado un vector perpendicular al plano de los vectores $V$ y $W$, donde la magnitud del vector resultante depende del \u00e1rea del paralelogramo formado por los vectores $V$ y $W$, como se ve a continuaci\u00f3n.<br \/>\n$$<br \/>\nU=V\\times W<br \/>\n$$<br \/>\ny<br \/>\n$$<br \/>\n\\left\\Vert V\\times W\\right\\Vert =\\left\\Vert V\\right\\Vert \\left\\Vert<br \/>\nW\\right\\Vert \\sin \\theta<br \/>\n$$<\/li>\n<\/ul>\n<p>La representaci\u00f3n gr\u00e1fica del producto cruz la podemos ver en la figura 6.<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><a href=\"http:\/\/virtual.cuautitlan.unam.mx\/intar\/ime\/wp-content\/uploads\/sites\/15\/2021\/07\/rm6.jpg\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter wp-image-561 size-full\" src=\"http:\/\/virtual.cuautitlan.unam.mx\/intar\/ime\/wp-content\/uploads\/sites\/15\/2021\/07\/rm6.jpg\" alt=\"\" width=\"540\" height=\"505\" srcset=\"https:\/\/virtual.cuautitlan.unam.mx\/intar\/ime\/wp-content\/uploads\/sites\/15\/2021\/07\/rm6.jpg 540w, https:\/\/virtual.cuautitlan.unam.mx\/intar\/ime\/wp-content\/uploads\/sites\/15\/2021\/07\/rm6-300x281.jpg 300w\" sizes=\"(max-width: 540px) 100vw, 540px\" \/><\/a>Fig.6.- Producto cruz entre vectores.<\/p>\n<h2><strong>Matrices y sus operaciones<\/strong><\/h2>\n<p>Otro concepto importante de recordar es el de la matriz, la importancia que estas juegan en la din\u00e1mica y cinem\u00e1tica de un robot es primordial para el dise\u00f1o y comportamiento de cualquier elemento rob\u00f3tico.<\/p>\n<p>Una matriz es un conjunto de n\u00fameros ordenados en filas y columnas. El tama\u00f1o de la matriz se denota siempre como filas $\\times$ columnas, como se muestra a continuaci\u00f3n:<\/p>\n<p>$$<br \/>\nA_{nm}=<br \/>\n\\left[<br \/>\n\\begin{array}{cccc}<br \/>\na_{11} &amp; a_{12} &amp; \\cdots &amp; a_{1m} \\\\<br \/>\na_{21} &amp; a_{22} &amp; \\cdots &amp; a_{2m} \\\\<br \/>\n\\vdots &amp; \\vdots &amp; \\ddots &amp; \\vdots \\\\<br \/>\na_{n1} &amp; a_{n2} &amp; \\cdots &amp; a_{nm}%<br \/>\n\\end{array}%<br \/>\n\\right] ~\\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ A:n(filas) \\times m(columnas)<br \/>\n$$<br \/>\nLas matrices siguen las mismas operaciones definidas anteriormente en los vecores, solo se debe recordar que en la suma la conmutatividad y la asociatividad se cumplen, mientras que la multiplicaci\u00f3n en las matrices no es conmutativa. Podemos obtener diferentes propiedades de estas tales como:<\/p>\n<ul>\n<li>Traspuesta. En esta operaci\u00f3n se invierten las filas por las columnas en una matriz. Sea una matriz $A$ de $n \\times m$,<br \/>\n$$<br \/>\nA=\\left[<br \/>\n\\begin{array}{cccc}<br \/>\na_{11} &amp; a_{12} &amp; \\cdots &amp; a_{1m} \\\\<br \/>\na_{21} &amp; a_{22} &amp; \\cdots &amp; a_{2m} \\\\<br \/>\n\\vdots &amp; \\vdots &amp; \\ddots &amp; \\vdots \\\\<br \/>\na_{n1} &amp; a_{n2} &amp; \\cdots &amp; a_{nm}%<br \/>\n\\end{array}%<br \/>\n\\right] ~\\ \\ \\ \\<br \/>\n$$<\/li>\n<\/ul>\n<p>la matriz traspuesta es denotada por $A^{T}$, y se muestra a continuaci\u00f3n:<\/p>\n<p>$$A^{T}=\\left[<br \/>\n\\begin{array}{cccc}<br \/>\na_{11} &amp; a_{21} &amp; \\vdots &amp; a_{n1} \\\\<br \/>\na_{12} &amp; a_{22} &amp; \\vdots &amp; a_{n2} \\\\<br \/>\n\\cdots &amp; \\cdots &amp; \\ddots &amp; \\cdots \\\\<br \/>\na_{1m} &amp; a_{2m} &amp; \\vdots &amp; a_{nm}<br \/>\n\\end{array}<br \/>\n\\ \\right] $$<br \/>\nnote como en la transpuesta de $A$ las filas ahora son columnas y viceversa.<\/p>\n<p>Ya habiendo recordado los vectores y las matrices, podemos definir algunas caracter\u00edsticas y acciones que se pueden realizar con los robots m\u00f3viles, por ejemplo:<\/p>\n<p><strong>Cuerpo R\u00edgido:<\/strong> Es un sistema que es capaz solo de desplazamientos.<\/p>\n<p><strong>Desplazamiento:<\/strong> Es un cambio en la configuraci\u00f3n del sistema que preserva de igual forma la distancia y la orientaci\u00f3n del sistema.<\/p>\n<p><strong>Rotaci\u00f3n:<\/strong> Es un movimiento en sentido antihorario de un cuerpo r\u00edgido con respecto a un punto fijo. A continuaci\u00f3n se muestran las matrices de rotaci\u00f3n con respecto a los ejes $x$, $y$, $z$.<br \/>\n$$<br \/>\nR_{x}(\\theta )=\\left[<br \/>\n\\begin{array}{ccc}<br \/>\n1 &amp; 0 &amp; 0 \\\\<br \/>\n0 &amp; \\cos \\theta &amp; -\\sin \\theta \\\\<br \/>\n0 &amp; \\sin \\theta &amp; \\cos \\theta<br \/>\n\\end{array}%<br \/>\n\\right]<br \/>\n$$<br \/>\n$$<br \/>\nR_{y}(\\theta )=\\left[<br \/>\n\\begin{array}{ccc}<br \/>\n\\cos \\theta &amp; 0 &amp; -\\sin \\theta \\\\<br \/>\n0 &amp; 1 &amp; \\\\<br \/>\n\\sin \\theta &amp; 0 &amp; \\cos \\theta<br \/>\n\\end{array}%<br \/>\n\\right]<br \/>\n$$<\/p>\n<p>$$<br \/>\nR_{z}(\\theta )=\\left[<br \/>\n\\begin{array}{ccc}<br \/>\n\\cos \\theta &amp; -\\sin \\theta &amp; 0 \\\\<br \/>\n\\sin \\theta &amp; \\cos \\theta &amp; 0 \\\\<br \/>\n0 &amp; 0 &amp; 1%<br \/>\n\\end{array}%<br \/>\n\\right]<br \/>\n$$<\/p>\n<p>En la figura 7 se puede observar la rotaci\u00f3n de un cuerpo r\u00edgido con respecto a un punto.<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><a href=\"http:\/\/virtual.cuautitlan.unam.mx\/intar\/ime\/wp-content\/uploads\/sites\/15\/2021\/07\/rm7.jpg\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter wp-image-560 size-full\" src=\"http:\/\/virtual.cuautitlan.unam.mx\/intar\/ime\/wp-content\/uploads\/sites\/15\/2021\/07\/rm7.jpg\" alt=\"\" width=\"1257\" height=\"557\" srcset=\"https:\/\/virtual.cuautitlan.unam.mx\/intar\/ime\/wp-content\/uploads\/sites\/15\/2021\/07\/rm7.jpg 1257w, https:\/\/virtual.cuautitlan.unam.mx\/intar\/ime\/wp-content\/uploads\/sites\/15\/2021\/07\/rm7-300x133.jpg 300w, https:\/\/virtual.cuautitlan.unam.mx\/intar\/ime\/wp-content\/uploads\/sites\/15\/2021\/07\/rm7-768x340.jpg 768w, https:\/\/virtual.cuautitlan.unam.mx\/intar\/ime\/wp-content\/uploads\/sites\/15\/2021\/07\/rm7-1024x454.jpg 1024w\" sizes=\"(max-width: 767px) 89vw, (max-width: 1000px) 54vw, (max-width: 1071px) 543px, 580px\" \/><\/a>Fig. 7.- Rotaci\u00f3n de un cuerpo r\u00edgido, robot m\u00f3vil, con respecto al punto que se ve en la parte inferior de la figura.<\/p>\n<p><strong>Traslaci\u00f3n:<\/strong> Es un desplazamiento de todos los puntos movi\u00e9ndose distancias iguales en l\u00edneas paralelas, tal que:<\/p>\n<p>$$<br \/>\np=\\left[<br \/>\n\\begin{array}{c}<br \/>\nt \\\\<br \/>\n1%<br \/>\n\\end{array}%<br \/>\n\\right]<br \/>\n$$<br \/>\ndonde,<br \/>\n$$<br \/>\nt=\\left[<br \/>\n\\begin{array}{c}<br \/>\nx \\\\<br \/>\ny \\\\<br \/>\nz \\\\<br \/>\n\\end{array}%<br \/>\n\\right]<br \/>\n$$<\/p>\n<p>En la figura 8, se puede apreciar la traslaci\u00f3n de un cuerpo r\u00edgido.<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><a href=\"http:\/\/virtual.cuautitlan.unam.mx\/intar\/ime\/wp-content\/uploads\/sites\/15\/2021\/07\/rm8.jpg\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter wp-image-559 size-full\" src=\"http:\/\/virtual.cuautitlan.unam.mx\/intar\/ime\/wp-content\/uploads\/sites\/15\/2021\/07\/rm8.jpg\" alt=\"\" width=\"1234\" height=\"473\" srcset=\"https:\/\/virtual.cuautitlan.unam.mx\/intar\/ime\/wp-content\/uploads\/sites\/15\/2021\/07\/rm8.jpg 1234w, https:\/\/virtual.cuautitlan.unam.mx\/intar\/ime\/wp-content\/uploads\/sites\/15\/2021\/07\/rm8-300x115.jpg 300w, https:\/\/virtual.cuautitlan.unam.mx\/intar\/ime\/wp-content\/uploads\/sites\/15\/2021\/07\/rm8-768x294.jpg 768w, https:\/\/virtual.cuautitlan.unam.mx\/intar\/ime\/wp-content\/uploads\/sites\/15\/2021\/07\/rm8-1024x393.jpg 1024w\" sizes=\"(max-width: 767px) 89vw, (max-width: 1000px) 54vw, (max-width: 1071px) 543px, 580px\" \/><\/a>Fig. 8.-\u00a0 Traslaci\u00f3n de un cuerpo r\u00edgido, robot m\u00f3vil.<\/p>\n<ul>\n<li>Al juntar la matriz de rotaci\u00f3n y el vector traslaci\u00f3n se obtiene:<br \/>\n$$<br \/>\nA=\\left[<br \/>\n\\begin{array}{cc}<br \/>\nR &amp; t \\\\<br \/>\n0 &amp; 1%<br \/>\n\\end{array}%<br \/>\n\\right]<br \/>\n$$<strong>Espacio de configuraci\u00f3n (C-Space)<\/strong>. El espacio de configuraci\u00f3n es el ambiente donde se mueven los robots m\u00f3viles, se caracteriza por los grados de libertad que cada ambiente pueda otorgar a los robots y la configuraci\u00f3n que tenga cada ambiente, sirve para la localizaci\u00f3n de la posici\u00f3n y orientaci\u00f3n de los robots. Algunos ejemplos son:<\/li>\n<li>Tren, 1-D C-space. $x$<\/li>\n<li>Autom\u00f3vil, 2-D C-space. $x,y,\\theta$<\/li>\n<li>Aeronave, 3-D C-space. $x,y,z,\\phi,\\theta,\\psi$<\/li>\n<\/ul>\n<p><strong>Grados de libertad:<\/strong> N\u00famero de variables independientes necesarias para especificar la posici\u00f3n y orientaci\u00f3n. Algunos ejemplos pueden verse en la tabla 1.<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\">Tabla 1.-Ejemplos de grados de libertad seg\u00fan el sistema.<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter wp-image-577 size-full\" src=\"http:\/\/virtual.cuautitlan.unam.mx\/intar\/ime\/wp-content\/uploads\/sites\/15\/2021\/07\/tabla.jpg\" alt=\"\" width=\"948\" height=\"226\" srcset=\"https:\/\/virtual.cuautitlan.unam.mx\/intar\/ime\/wp-content\/uploads\/sites\/15\/2021\/07\/tabla.jpg 948w, https:\/\/virtual.cuautitlan.unam.mx\/intar\/ime\/wp-content\/uploads\/sites\/15\/2021\/07\/tabla-300x72.jpg 300w, https:\/\/virtual.cuautitlan.unam.mx\/intar\/ime\/wp-content\/uploads\/sites\/15\/2021\/07\/tabla-768x183.jpg 768w\" sizes=\"(max-width: 767px) 89vw, (max-width: 1000px) 54vw, (max-width: 1071px) 543px, 580px\" \/><\/p>\n<p><strong>Cinem\u00e1tica:<\/strong> Del griego: $\\kappa \\iota \\upsilon \\eta \\mu \\alpha $ k\u00edn$\\bar{e}$ma, significa movimiento. Rama de la f\u00edsica que estudia el movimiento prescindiendo de las fuerzas que lo producen.<\/p>\n<p>Esto concierne tanto a la cinem\u00e1tica directa como a la inversa de los robots m\u00f3viles. Para poder conocer correctamente la posici\u00f3n y orientaci\u00f3n de los robots m\u00f3viles es necesario ocupar diversos <a href=\"http:\/\/virtual.cuautitlan.unam.mx\/intar\/ime\/sensores\/\">sensores<\/a>, ya que si solo se ocupan los<em> encoders<\/em> para conocer la posici\u00f3n y trayectoria que ha seguido el robot m\u00f3vil, ser\u00e1 dif\u00edcil medir correctamente esto ya que se van acumulando los errores en la estimaci\u00f3n de la posici\u00f3n.<\/p>\n<p><strong>Cinem\u00e1tica directa.<\/strong><\/p>\n<ul>\n<li>\u00a0Transformaci\u00f3n del movimiento de los actuadores (motores, llantas), es decir velocidad lineal y angular, a posiciones f\u00edsicas en el espacio.<\/li>\n<li>\u00a0Asumiendo que se conoce la posici\u00f3n inicial y la funci\u00f3n de control es posible encontrar la posici\u00f3n final del robot.<\/li>\n<\/ul>\n<p><strong>Cinem\u00e1tica inversa.<\/strong><\/p>\n<ul>\n<li>Transforma las posiciones del robot a velocidades lineal y angular.<\/li>\n<li>Se requiere para el control del movimiento.<\/li>\n<li>Asumiendo que se conoce la posici\u00f3n inicial y final del robot, es posible encontrar una funci\u00f3n de control que lleve al robot de la posici\u00f3n inicial a la final.<\/li>\n<\/ul>\n<h1><strong>Rob\u00f3tica M\u00f3vil<\/strong><\/h1>\n<p>Esta rama de la rob\u00f3tica estudia el la alteraci\u00f3n espacial de los robots m\u00f3viles desde la perspectiva de su cinem\u00e1tica, para poder realizar un control de la trayectoria que sigan y el trabajo a realizar.<\/p>\n<h2><strong>Cinem\u00e1tica directa e inversa de un robot m\u00f3vil.<\/strong><\/h2>\n<p>Considere que $q_{1},q_{2},&#8230;,q_{n}$ son las coordenadas generalizadas del espacio de los actuadores y que $x_{1},x_{2},&#8230;,x_{n}$ son las del espacio de trabajo, tenemos que<br \/>\n$$<br \/>\nq=<br \/>\n\\begin{bmatrix}<br \/>\nq_{1}\\\\<br \/>\nq_{2}\\\\<br \/>\n\\vdots\\\\<br \/>\nq_{n}<br \/>\n\\end{bmatrix}, \\ \\ \\ \\ \\<br \/>\np=<br \/>\n\\begin{bmatrix}<br \/>\nx_{1}\\\\<br \/>\nx_{2}\\\\<br \/>\n\\vdots\\\\<br \/>\nx_{n}<br \/>\n\\end{bmatrix}<br \/>\n$$<br \/>\nel problema de determinar $p$ (posici\u00f3n) a partir de conocer $q$ (velocidades) se conoce como problema de cinem\u00e1tica directa, mientras que encontrar $q$ a partir de $p$ se conoce como cinem\u00e1tica inversa.<\/p>\n<p>La cinem\u00e1tica directa es definida como:<\/p>\n<p>$$<br \/>\np=f(q), \\ \\ \\ \\ \\ \\<br \/>\nf(q)=<br \/>\n\\begin{bmatrix}<br \/>\nf_{1}(q) \\\\<br \/>\nf_{2}(q) \\\\<br \/>\n\\vdots \\\\<br \/>\nf_{m}(q)<br \/>\n\\end{bmatrix}<br \/>\n$$<\/p>\n<p>Mientras que la cinem\u00e1tica inversa esta definida en la siguiente forma:<\/p>\n<p>$$<br \/>\nq=f^{-1}(p)<br \/>\n$$<\/p>\n<p>Parar lograr esto es necesario conocer la relaci\u00f3n diferencial que hay entre $q$ y $p$, a esto se le llama la cinem\u00e1tica diferencial directa, definida por:<\/p>\n<p>$$<br \/>\ndp=Jdq<br \/>\n$$<\/p>\n<p>donde,<\/p>\n<p>\\begin{eqnarray}<br \/>\ndq&amp;=&amp;<br \/>\n\\begin{bmatrix}<br \/>\ndq_{1} \\\\<br \/>\n\\vdots \\\\<br \/>\ndq_{n}<br \/>\n\\end{bmatrix},<br \/>\n\\label{eqdpdq1} \\\\<br \/>\ndp&amp;=&amp;<br \/>\n\\begin{bmatrix}<br \/>\ndx_{1} \\\\<br \/>\n\\vdots \\\\<br \/>\ndx_{m}<br \/>\n\\end{bmatrix}<br \/>\n\\label{eqdpdq2}<br \/>\n\\end{eqnarray}<\/p>\n<p>y la matriz $J$ de $m \\times n$,<br \/>\n\\[<br \/>\nJ=\\begin{bmatrix}<br \/>\n\\frac{\\partial x_{1}}{\\partial q_{1}} &amp; \\frac{\\partial x_{1}}{\\partial q_{2}} &amp; \\cdots &amp; \\frac{\\partial x_{1}}{\\partial q_{n}} \\\\<br \/>\n\\vdots &amp; \\vdots &amp; \\vdots &amp; \\vdots \\\\<br \/>\n\\frac{\\partial x_{1}}{\\partial q_{1}} &amp; \\frac{\\partial x_{1}}{\\partial q_{2}} &amp; \\cdots &amp; \\frac{\\partial x_{1}}{\\partial q_{n}}<br \/>\n\\end{bmatrix}=\\left[J_{ij}\\right]<br \/>\n\\]<br \/>\nes conocida como la matriz Jacobiana del robot m\u00f3vil. Representa la relaci\u00f3n entre los movimientos de los actuadores con el movimiento del robot en el espacio.<\/p>\n<p>Si dividimos (<a class='latex_ref' href=#><span style=\"colro:red\">eqdpdq1<\/span><\/a>) y (<a class='latex_ref' href=#><span style=\"colro:red\">eqdpdq2<\/span><\/a>) con respecto a $dt$ entonces se obtiene formalmente,<br \/>\n\\[<br \/>\n\\frac{dp}{dt}=J\\frac{dq}{dt}<br \/>\n\\]<br \/>\nes decir,<br \/>\n\\[<br \/>\n\\dot{p}=J\\dot{q}<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>Si se asume que $m=n$, es decir, que la matriz $J$ sea cuadrada y existe la inversa de esta matriz, entonces,<\/p>\n<ul>\n<li>\\[<br \/>\n\\dot{q}=J^{-1}\\dot{p}<br \/>\n\\]Si $m\\neq n$, es decir, que la matriz $J$ no es cuadrada, se est\u00e1 en el caso de que la posici\u00f3n del robot est\u00e1 sobre caracterizada y alguna de las coordenadas utilizadas pueden soslayar, o estamos en el caso que con una misma coordenada puede obtenerse diversas posiciones en el espacio, debido a que est\u00e1 sub caracterizada la posici\u00f3n, tal que:<\/li>\n<li>\u00a0$m&gt;n \\ \\ \\ \\rightarrow \\ \\ \\ \\dot{q}$ est\u00e1 sobre especificado y se utiliza la inversa generalizada.<\/li>\n<li>$m&lt;n \\ \\ \\ \\rightarrow \\ \\ \\ \\dot{q}$ est\u00e1 sub especificada. Diferentes $\\dot{q}$ dan la misma $\\dot{p}$<\/li>\n<\/ul>\n<p>Para poder definir claramente la posici\u00f3n en el espacio del robot, se deben utilizar marcos de referencia, para esto se debe notar lo siguiente,<\/p>\n<ul>\n<li>Se usa la convenci\u00f3n de la mano derecha.<\/li>\n<li>Marco inercial.<\/li>\n<\/ul>\n<p>$\\rightarrow$ Fijo, usualmente es la tierra.<\/p>\n<ul>\n<li>Marco Cuerpo.<\/li>\n<\/ul>\n<p>$\\rightarrow$ Fijo al veh\u00edculo. Centro de gravedad, masa o rotaci\u00f3n.<\/p>\n<ul>\n<li>Marco sensor.<\/li>\n<\/ul>\n<p>$\\rightarrow$ Fijo en el sensor, convenientemente puesto para obtener las mediciones.<\/p>\n<ul>\n<li>Los diferentes marcos de referencia se pueden apreciar en la figura 9.<\/li>\n<\/ul>\n<p style=\"text-align: center;\"><a href=\"http:\/\/virtual.cuautitlan.unam.mx\/intar\/ime\/wp-content\/uploads\/sites\/15\/2021\/07\/rm9.jpg\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter wp-image-558 size-full\" src=\"http:\/\/virtual.cuautitlan.unam.mx\/intar\/ime\/wp-content\/uploads\/sites\/15\/2021\/07\/rm9.jpg\" alt=\"\" width=\"1218\" height=\"449\" srcset=\"https:\/\/virtual.cuautitlan.unam.mx\/intar\/ime\/wp-content\/uploads\/sites\/15\/2021\/07\/rm9.jpg 1218w, https:\/\/virtual.cuautitlan.unam.mx\/intar\/ime\/wp-content\/uploads\/sites\/15\/2021\/07\/rm9-300x111.jpg 300w, https:\/\/virtual.cuautitlan.unam.mx\/intar\/ime\/wp-content\/uploads\/sites\/15\/2021\/07\/rm9-768x283.jpg 768w, https:\/\/virtual.cuautitlan.unam.mx\/intar\/ime\/wp-content\/uploads\/sites\/15\/2021\/07\/rm9-1024x377.jpg 1024w\" sizes=\"(max-width: 767px) 89vw, (max-width: 1000px) 54vw, (max-width: 1071px) 543px, 580px\" \/><\/a>Fig. 9.- Distintos marcos de referencia.<\/p>\n<p>Esto es \u00fatil para realizar las transformaciones necesarias de la posici\u00f3n de los sensores, actuadores, cuerpos r\u00edgidos con respecto al punto de control designado en el robot m\u00f3vil, ta como se puede ver en la figura 10.<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><a href=\"http:\/\/virtual.cuautitlan.unam.mx\/intar\/ime\/wp-content\/uploads\/sites\/15\/2021\/07\/rm10.jpg\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter wp-image-557 size-full\" src=\"http:\/\/virtual.cuautitlan.unam.mx\/intar\/ime\/wp-content\/uploads\/sites\/15\/2021\/07\/rm10.jpg\" alt=\"\" width=\"1085\" height=\"567\" srcset=\"https:\/\/virtual.cuautitlan.unam.mx\/intar\/ime\/wp-content\/uploads\/sites\/15\/2021\/07\/rm10.jpg 1085w, https:\/\/virtual.cuautitlan.unam.mx\/intar\/ime\/wp-content\/uploads\/sites\/15\/2021\/07\/rm10-300x157.jpg 300w, https:\/\/virtual.cuautitlan.unam.mx\/intar\/ime\/wp-content\/uploads\/sites\/15\/2021\/07\/rm10-768x401.jpg 768w, https:\/\/virtual.cuautitlan.unam.mx\/intar\/ime\/wp-content\/uploads\/sites\/15\/2021\/07\/rm10-1024x535.jpg 1024w\" sizes=\"(max-width: 767px) 89vw, (max-width: 1000px) 54vw, (max-width: 1071px) 543px, 580px\" \/><\/a>Fig. 10.- Relaci\u00f3n entre los distintos marcos de referencia.<\/p>\n<h2><strong>Modelos matem\u00e1ticos.<\/strong><\/h2>\n<p>Se modela matem\u00e1ticamente el comportamiento cinem\u00e1tico de un robot m\u00f3vil, para esto, imagine una moneda que rueda sobre el plano, como se muestra en la figura 11.<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><a href=\"http:\/\/virtual.cuautitlan.unam.mx\/intar\/ime\/wp-content\/uploads\/sites\/15\/2021\/07\/rm11.jpg\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter wp-image-556 size-full\" src=\"http:\/\/virtual.cuautitlan.unam.mx\/intar\/ime\/wp-content\/uploads\/sites\/15\/2021\/07\/rm11.jpg\" alt=\"\" width=\"851\" height=\"577\" srcset=\"https:\/\/virtual.cuautitlan.unam.mx\/intar\/ime\/wp-content\/uploads\/sites\/15\/2021\/07\/rm11.jpg 851w, https:\/\/virtual.cuautitlan.unam.mx\/intar\/ime\/wp-content\/uploads\/sites\/15\/2021\/07\/rm11-300x203.jpg 300w, https:\/\/virtual.cuautitlan.unam.mx\/intar\/ime\/wp-content\/uploads\/sites\/15\/2021\/07\/rm11-768x521.jpg 768w\" sizes=\"(max-width: 767px) 89vw, (max-width: 1000px) 54vw, (max-width: 1071px) 543px, 580px\" \/><\/a>Fig. 11.-Movimiento de una moneda en el plano.<\/p>\n<p style=\"text-align: left;\">En la figura 11 se puede observar dicha moneda, suponga adem\u00e1s que la moneda no se derrapa, ni se desliza hacia los lados, tampoco se tambalea y por lo tanto siempre se desplaza de manera vertical sobre el plano. La moneda tiene un radio $r$ y su movimiento angular est\u00e1 dado por $\\theta$, mientras que la orientaci\u00f3n que tiene en el plano $X-Y$ es dada por $\\phi$, y su posici\u00f3n est\u00e1 dada por las coordenadas $(x,y)$.<\/p>\n<p>A partir de la Figura 11, se obtienen los par\u00e1metros que sirven para conocer el movimiento de la moneda, estos par\u00e1metros son, su posici\u00f3n en el plano dada por las coordenads $(x,y)$, su orientaci\u00f3n $\\phi$ y su \u00e1ngulo $\\theta$, es decir,<br \/>\n$$<br \/>\nq=(x,y,\\theta,\\phi)<br \/>\n$$<br \/>\nLa velocidad con la que se mueve cada uno de estos par\u00e1metros, se puede obtener al analizar la Figura 11, y se obtiene la siguiente relaci\u00f3n,<br \/>\n$$<br \/>\n\\dot{q}=\\begin{bmatrix}<br \/>\n\\dot{x}\\\\<br \/>\n\\dot{y} \\\\<br \/>\n\\dot{\\phi} \\\\<br \/>\n\\dot{\\theta}<br \/>\n\\end{bmatrix}=\\begin{bmatrix}<br \/>\nr\\cos\\phi &amp; 0 \\\\<br \/>\nr\\sin\\phi &amp; 0 \\\\<br \/>\n1 &amp; 0 \\\\<br \/>\n0 &amp; 1<br \/>\n\\end{bmatrix}\\begin{bmatrix}<br \/>\nu_{1} \\\\<br \/>\nu_{2}<br \/>\n\\end{bmatrix}<br \/>\n$$<\/p>\n<p>Esto es en el caso de una moneda o una llanta. Si ahora el mismo movimiento lo analizamos a partir de un cuerpo r\u00edgido como un robot m\u00f3vil, se puede obtener el modelo cinem\u00e1tico del mismo, tal como se muestra en la figura 12.<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><a href=\"http:\/\/virtual.cuautitlan.unam.mx\/intar\/ime\/wp-content\/uploads\/sites\/15\/2021\/07\/rm12.jpg\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter wp-image-555 size-full\" src=\"http:\/\/virtual.cuautitlan.unam.mx\/intar\/ime\/wp-content\/uploads\/sites\/15\/2021\/07\/rm12.jpg\" alt=\"\" width=\"791\" height=\"575\" srcset=\"https:\/\/virtual.cuautitlan.unam.mx\/intar\/ime\/wp-content\/uploads\/sites\/15\/2021\/07\/rm12.jpg 791w, https:\/\/virtual.cuautitlan.unam.mx\/intar\/ime\/wp-content\/uploads\/sites\/15\/2021\/07\/rm12-300x218.jpg 300w, https:\/\/virtual.cuautitlan.unam.mx\/intar\/ime\/wp-content\/uploads\/sites\/15\/2021\/07\/rm12-768x558.jpg 768w\" sizes=\"(max-width: 767px) 89vw, (max-width: 1000px) 54vw, (max-width: 1071px) 543px, 580px\" \/><\/a>Fig. 12.- Robot m\u00f3vil en el plano $X-Y$<\/p>\n<p>En la figura 13 se presenta la posici\u00f3n de un robot m\u00f3vil en un plano $X-Y$, donde el radio de las llantas est\u00e1 representado por $r$, la distancia del punto medio del eje de las llantas a cualquiera de ellas est\u00e1 dada por $d$, la orientaci\u00f3n del veh\u00edculo con respecto al eje $X$ est\u00e1 dada por $\\theta$, la posici\u00f3n por $x,y$ y las velocidades lineal y angular est\u00e1n dadas por $V$ y $W$ respectivamente.<\/p>\n<p>A partir de la figura 13 y siguiendo los hecho con la figura 11 se puede obtener la velocidad en cada uno de los par\u00e1metros del robot,<br \/>\n\\begin{eqnarray}<br \/>\n\\dot{q}=\\begin{bmatrix}<br \/>\n\\dot{x}\\\\<br \/>\n\\dot{y} \\\\<br \/>\n\\dot{\\theta} \\\\<br \/>\n\\dot{\\phi_{L}} \\\\<br \/>\n\\dot{\\phi_{R}}<br \/>\n\\end{bmatrix}=\\begin{bmatrix}<br \/>\n\\frac{r}{2}\\cos\\phi &amp;\\frac{r}{2}\\cos\\phi \\\\<br \/>\n\\frac{r}{2}\\sin\\phi &amp; \\frac{r}{2}\\sin\\phi \\\\<br \/>\n-\\frac{r}{2d} &amp; \\frac{r}{2d} \\\\<br \/>\n1 &amp; 0 \\\\<br \/>\n0 &amp; 1<br \/>\n\\end{bmatrix}\\begin{bmatrix}<br \/>\nu_{L} \\\\<br \/>\nu_{R}<br \/>\n\\end{bmatrix}<br \/>\n\\label{mod1}<br \/>\n\\end{eqnarray}<\/p>\n<p>Note que ahora $\\theta$ es la orientaci\u00f3n que tenga el robot m\u00f3vil con respecto al eje $X$, $\\phi_{L}$ y $\\phi_{R}$ es el \u00e1ngulo de las llantas, adem\u00e1s $u_{L}$ y $u_{R}$ son las velocidades angulares de las llantas izquierda y derecha respectivamente.<\/p>\n<p>De la ecuaci\u00f3n (<a class='latex_ref' href=#><span style=\"colro:red\">mod1<\/span><\/a>) es posible notar que la relaci\u00f3n entre la velocidad angular de las llantas y la velocidad lineal y angular que tenga el veh\u00edculo es:<\/p>\n<p>\\begin{eqnarray}<br \/>\nv&amp;=&amp;\\frac{r}{2}(u_{R}+u_{L})<br \/>\n\\label{veltras}\\\\<br \/>\nw&amp;=&amp;\\frac{r}{d}(u_{R}-u_{L})<br \/>\n\\label{veltras1}<br \/>\n\\end{eqnarray}<\/p>\n<p>Con las ecuaciones <a class='latex_ref' href=#><span style=\"colro:red\">veltras<\/span><\/a> y <a class='latex_ref' href=#><span style=\"colro:red\">veltras1<\/span><\/a> es posible reducir la ecuaci\u00f3n <a class='latex_ref' href=#><span style=\"colro:red\">mod1<\/span><\/a>, de la siguiente forma,<\/p>\n<p>\\begin{eqnarray}<br \/>\n\\dot{q}=\\begin{bmatrix}<br \/>\n\\dot{x}\\\\<br \/>\n\\dot{y} \\\\<br \/>\n\\dot{\\theta}<br \/>\n\\end{bmatrix}=\\begin{bmatrix}<br \/>\n\\cos\\theta &amp;0 \\\\<br \/>\n\\sin\\theta &amp; 0\\\\<br \/>\n0 &amp; 1<br \/>\n\\end{bmatrix}\\begin{bmatrix}<br \/>\nv \\\\<br \/>\nw<br \/>\n\\end{bmatrix}<br \/>\n\\label{modf}<br \/>\n\\end{eqnarray}<\/p>\n<p>La ecuaci\u00f3n (<a class='latex_ref' href=#><span style=\"colro:red\">modf<\/span><\/a>) se conoce como el modelo cinem\u00e1tico de un robot m\u00f3vil tipo diferencial. Es decir que cada una de sus ruedas tiene movimiento independiente, al tener un movimiento igual ambas ruedas, el robot avanza en l\u00ednea recta, si una de las dos ruedas tienen velocidades diferentes, entonces el robot se mueve realizando una curva como trayectoria.<\/p>\n<p>Por otra parte, se debe recordar que un robot diferencial al igual que un robot tipo autom\u00f3vil, tienen ciertas restricciones en su movimiento, la principal de ellas es que no pueden desplazarse de manera lateral, siempre deben avanzar o retroceder y girar para alcanzar ciertos puntos, pero no pueden deslizarse hacia los lados. A esta restricci\u00f3n se le conoce como restricci\u00f3n no hol\u00f3noma y matem\u00e1ticamente se representa de la forma,<\/p>\n<p>\\begin{equation}<br \/>\n\\dot{y}\\cos\\theta-\\dot{x}\\sin\\theta=0<br \/>\n\\end{equation}<\/p>\n<p>Esto se debe a los componentes de velocidad de los veh\u00edculos, recordando la velocidad que tiene el veh\u00edculo en la coordenada $x$ e $y$,<\/p>\n<p>$$\\dot{x}=v\\cos\\theta$$<br \/>\n$$\\dot{y}=v\\sin\\theta$$<\/p>\n<p>Se puede notar que la velocidad de una coordenada va ligada a la de la otra coordenada, y esto restringe el cambio de velocidad independiente de las coordenadas.<\/p>\n<p>Donde adem\u00e1s se puede notar que la velocidad que sigue un veh\u00edculo siempre es tangente al trayecto que realiza, tal que:<\/p>\n<p>$$\\frac{dy}{dx}=\\tan \\theta= \\frac{\\sin \\theta}{\\cos \\theta}<br \/>\n$$<\/p>\n<p style=\"text-align: left;\">De manera gr\u00e1fica esto est\u00e1 representado por la figura 13.<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><a href=\"http:\/\/virtual.cuautitlan.unam.mx\/intar\/ime\/wp-content\/uploads\/sites\/15\/2021\/07\/rm13.jpg\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter wp-image-554 size-full\" src=\"http:\/\/virtual.cuautitlan.unam.mx\/intar\/ime\/wp-content\/uploads\/sites\/15\/2021\/07\/rm13.jpg\" alt=\"\" width=\"739\" height=\"575\" srcset=\"https:\/\/virtual.cuautitlan.unam.mx\/intar\/ime\/wp-content\/uploads\/sites\/15\/2021\/07\/rm13.jpg 739w, https:\/\/virtual.cuautitlan.unam.mx\/intar\/ime\/wp-content\/uploads\/sites\/15\/2021\/07\/rm13-300x233.jpg 300w\" sizes=\"(max-width: 739px) 100vw, 739px\" \/><\/a>Fig. 13.- Relaci\u00f3n de la velocidad y trayectoria de un veh\u00edculo.<\/p>\n<p>Mientras que en un robot diferencial, los movimientos hacia un lado u otro se hacen con una diferencia entre la velocidad de las ruedas, en el robot tipo autom\u00f3vil, el movimiento se realiza al mover el eje de las llantas delanteras o traseras, esto se puede notar mejor en la figura 14,<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><a href=\"http:\/\/virtual.cuautitlan.unam.mx\/intar\/ime\/wp-content\/uploads\/sites\/15\/2021\/07\/rm14.jpg\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter wp-image-553 size-full\" src=\"http:\/\/virtual.cuautitlan.unam.mx\/intar\/ime\/wp-content\/uploads\/sites\/15\/2021\/07\/rm14.jpg\" alt=\"\" width=\"746\" height=\"540\" srcset=\"https:\/\/virtual.cuautitlan.unam.mx\/intar\/ime\/wp-content\/uploads\/sites\/15\/2021\/07\/rm14.jpg 746w, https:\/\/virtual.cuautitlan.unam.mx\/intar\/ime\/wp-content\/uploads\/sites\/15\/2021\/07\/rm14-300x217.jpg 300w\" sizes=\"(max-width: 706px) 89vw, (max-width: 767px) 82vw, 740px\" \/><\/a>Fig. 14.- Relaci\u00f3n de las llantas delanteras, traseras y el centro de gravedad de un veh\u00edculo.<\/p>\n<p>Donde es posible analizar que el comportamiento que tiene un veh\u00edculo es similar al movimiento que tendr\u00eda una bicicleta, lo cual facilita el an\u00e1lisis para la obtenci\u00f3n de su modelo cinem\u00e1tico.<\/p>\n<p>Conforme se mueva el volante o el manubrio se realiza un giro , pero este giro no puede ser completo, hay un l\u00edmite, este l\u00edmite depender\u00e1 de el centro de rotaci\u00f3n instant\u00e1neo que se genere, tal c\u00f3mo se ve en la figura 15,<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><a href=\"http:\/\/virtual.cuautitlan.unam.mx\/intar\/ime\/wp-content\/uploads\/sites\/15\/2021\/07\/rm15.jpg\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter wp-image-552 size-full\" src=\"http:\/\/virtual.cuautitlan.unam.mx\/intar\/ime\/wp-content\/uploads\/sites\/15\/2021\/07\/rm15.jpg\" alt=\"\" width=\"725\" height=\"551\" srcset=\"https:\/\/virtual.cuautitlan.unam.mx\/intar\/ime\/wp-content\/uploads\/sites\/15\/2021\/07\/rm15.jpg 725w, https:\/\/virtual.cuautitlan.unam.mx\/intar\/ime\/wp-content\/uploads\/sites\/15\/2021\/07\/rm15-300x228.jpg 300w\" sizes=\"(max-width: 725px) 100vw, 725px\" \/><\/a>Fig. 15.- Trayectoria seguida por cada punto de la bici, (eje delantero, trasero y gravedad) y centro de rotaci\u00f3n instant\u00e1neo.<\/p>\n<p>En la Figura 15 se observan las trayectorias seguidas por las llantas delanteras y traseras y adem\u00e1s la trayectoria que sigue el centro de gravedad de la bici, dependiendo que tanto se mueva el manubrio, y si se extiende una l\u00ednea colineal al eje de cada llanta, estas l\u00edneas tendr\u00e1n una intersecci\u00f3n en un punto llamado centro de rotaci\u00f3n instant\u00e1neo (ICR, por sus siglas en ingl\u00e9s), el cual depender\u00e1 de la velocidad angular que tenga en ese momento el veh\u00edculo:<\/p>\n<p>$$\\dot{\\theta}=\\omega=\\frac{v}{R}$$<\/p>\n<p>Si se analiza la figura 15 utilizando tri\u00e1ngulos semejantes, se nota que:<\/p>\n<p>$$\\tan \\gamma=\\frac{L}{R}$$<\/p>\n<p>por lo tanto la ecuaci\u00f3n de la velocidad de rotaci\u00f3n que el veh\u00edculo lleva, est\u00e1 dada por:<\/p>\n<p>$$\\dot{\\theta}=\\omega=\\frac{v}{R}=\\frac{v \\tan \\gamma}{L}$$<\/p>\n<p>Con esto es claro que habr\u00e1 ciertos lugares a los que no puede llegar el veh\u00edculo si solo mueve el volante hacia una direcci\u00f3n y sin hacer maniobras, a esta \u00e1rea se le conoce como inaccesible para el robot y depender\u00e1 de las caracter\u00edsticas del mismo, es to se puede observar en la figura 16.<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><a href=\"http:\/\/virtual.cuautitlan.unam.mx\/intar\/ime\/wp-content\/uploads\/sites\/15\/2021\/07\/rm16.jpg\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter wp-image-551 size-full\" src=\"http:\/\/virtual.cuautitlan.unam.mx\/intar\/ime\/wp-content\/uploads\/sites\/15\/2021\/07\/rm16.jpg\" alt=\"\" width=\"719\" height=\"553\" srcset=\"https:\/\/virtual.cuautitlan.unam.mx\/intar\/ime\/wp-content\/uploads\/sites\/15\/2021\/07\/rm16.jpg 719w, https:\/\/virtual.cuautitlan.unam.mx\/intar\/ime\/wp-content\/uploads\/sites\/15\/2021\/07\/rm16-300x231.jpg 300w\" sizes=\"(max-width: 719px) 100vw, 719px\" \/><\/a>Fig. 16.- \u00c1rea inaccesible para un veh\u00edculo, dependiendo de sus caracter\u00edsticas f\u00edsicas.<\/p>\n<p>El \u00e1rea inaccesible para el robot depende de la distancia $L$ que hay entre el eje delantero y el trasero, la distancia $a$ que hay entre el centro del eje trasero a cualquiera de sus llantas traseras y la distancia $D$ desde el punto de intersecci\u00f3n ICR y la llanta trasera m\u00e1s cercana a ese punto, esto queda m\u00e1s claro al ver la figura 16.<\/p>\n<p>Con estos an\u00e1lisis es posible obtener el modelo cinem\u00e1tico de un robot tipo\u00a0 triciclo o de un veh\u00edculo com\u00fan. El modelo cinem\u00e1tico esta dado por,<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n\\dot{x} &amp; = v \\cos(\\theta) \\\\<br \/>\n\\dot{y} &amp; = v \\sin(\\theta) \\\\<br \/>\n\\dot{\\theta} &amp; = \\frac{v}{L} \\tan(\\gamma)<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Rob\u00f3tica m\u00f3vil Uno de los tipos particulares dentro del universo que engloba la rob\u00f3tica, es la rob\u00f3tica m\u00f3vil. En esta secci\u00f3n se revisar\u00e1n algunos de los aspectos base de los robots m\u00f3viles Para ingresar al tema, primero que nada se debe de repasar el concepto de vector y sus caracter\u00edsticas. Un vector es un conjunto &hellip; <\/p>\n<p class=\"link-more\"><a href=\"https:\/\/virtual.cuautitlan.unam.mx\/intar\/ime\/robots-moviles\/\" class=\"more-link\">Continuar leyendo<span class=\"screen-reader-text\"> &#8220;Robots m\u00f3viles&#8221;<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":3,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-547","page","type-page","status-publish","hentry"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/virtual.cuautitlan.unam.mx\/intar\/ime\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/547"}],"collection":[{"href":"https:\/\/virtual.cuautitlan.unam.mx\/intar\/ime\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/virtual.cuautitlan.unam.mx\/intar\/ime\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/virtual.cuautitlan.unam.mx\/intar\/ime\/wp-json\/wp\/v2\/users\/3"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/virtual.cuautitlan.unam.mx\/intar\/ime\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=547"}],"version-history":[{"count":23,"href":"https:\/\/virtual.cuautitlan.unam.mx\/intar\/ime\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/547\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":588,"href":"https:\/\/virtual.cuautitlan.unam.mx\/intar\/ime\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/547\/revisions\/588"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/virtual.cuautitlan.unam.mx\/intar\/ime\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=547"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}