{"id":357,"date":"2021-07-08T13:32:22","date_gmt":"2021-07-08T19:32:22","guid":{"rendered":"http:\/\/virtual.cuautitlan.unam.mx\/intar\/ime\/?page_id=357"},"modified":"2021-08-10T19:02:35","modified_gmt":"2021-08-11T01:02:35","slug":"estabilidad","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/virtual.cuautitlan.unam.mx\/intar\/ime\/estabilidad\/","title":{"rendered":"Estabilidad"},"content":{"rendered":"

Estabilidad<\/strong><\/h1>\n

La estabilidad en un sistemas nos muestra si este va a comportarse de una forma adecuada, o si por el contrario el sistema terminara realizando acciones fuera de control o indebidas. Un sistema es estable si responde en forma limitada a una excitaci\u00f3n limitada. Tambi\u00e9n puede decirse que un sistema estable es aquel en que los transitorios decaen, es decir, la respuesta transitoria desaparece para valores crecientes del tiempo. La figura 1 muestra ejemplos de respuesta en el tiempo de sistemas inestables, y la figura 2 muestra ejemplos de respuesta de un sistema estable<\/p>\n

<\/p>\n

<\/p>\n

 <\/p>\n

<\/p>\n

Fig. 1.- Ejemplos de respuesta en el tiempo de sistemas inestables, como se puede observar la inestabilidad implica un crecimiento hac\u00eda el infinito conforme el tiempo tambi\u00e9n tiende al infinito.<\/p>\n

<\/p>\n

 <\/p>\n

<\/p>\n

Fig. 2.- Ejemplos de respuesta en el tiempo de sistemas estables. Como es posible observar las gr\u00e1ficas presentan un comportamiento que tiende hacia un estado estacionario, y tiende a la eliminaci\u00f3n de los transitorios.<\/p>\n

La estabilidad est\u00e1 directamente ligada a los valores de los polos dentro de la ecuaci\u00f3n que representa la funci\u00f3n de transferencia de un sistema. El plano cartesiano mostrado en la figura 3, muestra precisamente las regiones en las cuales un sistema es estable o inestable, es decir, si uno de los polos del sistema se posiciona en la parte derecha de la gr\u00e1fica, o en tiempo positivo, el sistema ser\u00e1 inestable. Todos los polos deben de centrarse en el lado izquierdo del plano cartesiano para que el sistema sea estable.<\/p>\n

<\/p>\n

Fig. 3.- Representaci\u00f3n del plano cartesiano donde se pueden observar las regiones donde los polos del sistema generan estabilidad o inestabilidad.<\/p>\n

Por ejemplo, tenemos la siguiente funci\u00f3n de trasferencia:<\/p>\n

$$G(s)=\\frac{(s+3)}{(s+1)(s+2)(s+4)}$$<\/p>\n

Si graficamos los polos del sistema, vemos que todos se encuentran del lado izquierdo del plano, por lo que indicar\u00eda que el sistema es estable, como se ve en la figura 4.<\/p>\n

<\/p>\n

Fig. 4. Sistema con polos de lado izquierdo de la gr\u00e1fica.<\/p>\n

Sin embargo, si graficamos los polos del siguiente sistema:<\/p>\n

$$G(s)=\\frac{(s+3)}{(s+1)(s+2)(s+4)(s-5)}$$<\/p>\n

Vemos que el polo $s=5$, se encuentra del lado derecho del plano, por lo que este polo genera la inestabilidad del sistema, como se ve en la figura 5. Basta con un solo polo en tal regi\u00f3n para que el sistema sea inestable.<\/p>\n

<\/p>\n

Fig. 5.- Sistema con un polo del lado derecho del plano, sistema inestable.<\/p>\n

Ahora bien, vamos a suponer un sistema en la forma mostrada en la figura 6.<\/p>\n

<\/p>\n

Fig. 6.- Sistema con un valor $K$ que puede moverse a trav\u00e9s de la curva de estabilidad.<\/p>\n

Podemos ver que el sistema de la figura 6 presenta una variable $K$, la cual puede generar un rango de valores dentro de la funci\u00f3n de transferencia. Este valor $K$ puede adquirir valores que hagan estable el sistema, o valores que lo hagan inestable.<\/p>\n

Bajo este esquema, si un sistema es inestable, podemos modificar el valor de $K$ para convertir a ese sistema en un modo estable. Por ejemplo, tenemos el sistema siguiente:<\/p>\n

$$G(s)=\\frac{1}{s-3+K}$$<\/p>\n

Para este sistema podemos ver que el valor de determinar\u00e1 el comportamiento del mismo, puede adquirir los valores desde 0 hasta $\\infty$. Evaluando valores para $K$ de 0 hasta 4 en el sistema anterior, tenemos:<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Podemos ver que bajo este caso, el sistema se vuelve estable para $K\\geq4$ , y para $K<4$ el sistema es inestable.<\/p>\n

Para identificar la inestabilidad de un sistema, tenemos diferentes m\u00e9todos, entre ellos se encuentra el m\u00e9todo de Ruth-Hurwitz,<\/em> que nos permite identificar si un sistema es estable o no, sin la necesidad de factorizar el polinomio caracter\u00edstico (el polinomio que est\u00e1 en el denominador de la funci\u00f3n de transferencia), ahora bien, si tenemos el siguiente polinomio caracter\u00edstico:<\/p>\n

$$a_{0}S^{n}+a_{1}S^{n-1}+\\cdots+a_{n-1}S^{1}+a_{n}=0$$<\/p>\n

Ordenamos los coeficientes en $n+1$ filas,\u00a0 como podemos observar en la siguiente representaci\u00f3n ordenada, la fila $s^{n}$ tiene todos los coeficientes de las posiciones pares del polinomio, mientras que la fila $s^{n-1}$ tiene todos los coeficientes de las posiciones impares del polinomio.\u00a0 A partir de estas dos primeras filas del conjunto ordenado, se van a ir construyendo las filas adicionales, la cantidad de filas depender\u00e1 del sistema.<\/p>\n

\\begin{matrix}
\ns^{n} & a_0 & a_2 & a_4 & a_6 & \\cdots \\\\
\ns^{n-1} & a_1 & a_3 & a_5 & a_7 & \\cdots \\\\
\ns^{n-2} & b_1 & b_2 & b_3 & b_4 & \\cdots \\\\
\ns^{n-3} & c_1 & c_2 & c_3 & c_4 & \\cdots \\\\
\ns^{n-4} & d_1 & d_2 & d_3 & d_4 & \\cdots \\\\
\n\\vdots & \\vdots & \\vdots & & & \\\\
\ns^{2}& e_1 & e_2 & & & \\\\
\ns^{1}& f_1 & & & & \\\\
\ns^{0}& g_1 & & & & \\\\
\n\\end{matrix}<\/p>\n

Para determinar la estabilidad de nuestro sistema, es necesario calcular los valores $b_{n}, c_{m}, d_{i}, \\ldots,g_{1}$ , para formar las filas $s^{n-2}, s^{n-3}, \\ldots,s^{0}$. Para calcular estos valores nos vamos a basar en las siguientes expresiones:<\/p>\n

$$\\begin{matrix}
\nb_{1}=\\frac{a_{1}a_{2}-a_{0}a_{3}}{a_1} & b_{2}=\\frac{a_{1}a_{4}-a_{0}a_{5}}{a_1} & b_{3}=\\frac{a_{1}a_{6}-a_{0}a_{7}}{a_1} & \\cdots \\\\
\nc_{1}=\\frac{b_{1}a_{3}-a_{1}b_{2}}{b_1} & c_{2}=\\frac{b_{1}a_{5}-a_{1}b_{3}}{b_1} & c_{3}=\\frac{b_{1}a_{7}-a_{1}b_{4}}{b_1} & \\cdots\\\\
\nd_{1}=\\frac{c_{1}b_{2}-b_{1}c_{2}}{c_1}& d_{2}=\\frac{c_{1}b_{3}-b_{1}c_{3}}{c_1} & & \\cdots \\\\
\n\\vdots & \\vdots & &
\n\\end{matrix}$$<\/p>\n

Estas evaluaciones se llevan a cabo hasta que ya no se tienen valores num\u00e9ricos en las columnas m\u00e1s que cero.<\/p>\n

Este criterio dice que un sistema es estable, si todos los elementos que se encuentran en la primera columna de la estructura ordenada tienen el mismo signo siempre, si existe un cambio de signo en tal columna, el sistema es inestable.<\/p>\n

Para entender un poco mejor, vamos a realizar el siguiente ejemplo:<\/p>\n

Tenemos el siguiente polinomio caracter\u00edstico:<\/p>\n

$$5s^{4}+6s^{3}+7s^{2}+8s^{1}+9=0$$<\/p>\n

Observamos que en tal polinomio $a_{0}=5$, $a_{1}=6$, $a_{2}=7$, $a_{3}=8$ y $a_{4}=9$.<\/p>\n

Iniciamos ordenando los coeficientes en la siguiente forma<\/p>\n

$$\\begin{matrix}
\ns^{4} & 5 & 7 & 9\\\\
\ns^{3} & 6 & 8 & 0\\\\
\ns^{2} & & & \\\\
\ns^{1} & & & \\\\
\ns^{0} & & &
\n\\end{matrix}$$<\/p>\n

Aqu\u00ed es importante notar que en la primera fila que son las posiciones pares, <\/strong>se colocan los coeficientes de tales posiciones, solo que para fines explicativos y demostrativos, dichos coeficientes son impares (los coeficientes son los impares, no la posici\u00f3n de ellos). Lo mismo pasa con la segunda fila, en donde van los coeficientes de las posiciones impares<\/strong> del polinomio, las posiciones son las impares, aunque los valores de tales coeficientes son impares.<\/p>\n

Calculamos:<\/p>\n

$$b_{1}=\\frac{(6)(7)-(5)(8)}{6}=\\frac{1}{3}$$<\/p>\n

$$b_{2}=\\frac{(6)(9)-(5)(0)}{6}=9$$<\/p>\n

Al ya no haber columna para poder calcular un posible valor $b_{3} $, damos por concluido el c\u00e1lculo de la fila , quedando<\/p>\n

$$\\begin{matrix}
\ns^{4} & 5 & 7 & 9\\\\
\ns^{3} & 6 & 8 & 0\\\\
\ns^{2} & \\frac{1}{3} & 9 & \\\\
\ns^{1} & & & \\\\
\ns^{0} & & &
\n\\end{matrix}$$<\/p>\n

Ahora, se procede a calcular los valores de la fila $s^{3}$, para lo cual utilizamos las mismas expresiones, es importante notar que el proceso es completamente met\u00f3dico, y aprendiendo a realizarlo una vez, es posible realizarlo sin ning\u00fan problema para m\u00e1s ejemplos.<\/p>\n

$$c_{1}=\\frac{(\\frac{1}{3})(8)-(9)(6)}{\\frac{1}{3}}=-154$$<\/p>\n

Al ya no haber m\u00e1s columnas para poder realizar el c\u00e1lculo de un posible $c_{2}$ , asumimos que hemos concluido con esta fila. Cuando se ha obtenido una fila con un solo coeficiente, como en este caso solo $c_{1}$, debajo de tal valor colocamos el coeficiente independiente, en este caso el valor 9, d\u00e1ndonos como resultado:<\/p>\n

$$\\begin{matrix}s^{4} & 5 & 7 & 9\\\\
\ns^{3} & 6 & 8 & 0\\\\ s^{2} & \\frac{1}{3} & 9 & \\\\ s^{1} &-154 & & \\\\ s^{0} & 9 & & \\end{matrix}$$<\/p>\n

Como podemos observar, el sistema es inestable, ya que en la primera columna hay un cambio de signo de $\\frac{1}{3}$ a $-154$ y un cambio de signo de $-154$ a $9$.<\/p>\n

Ahora, vamos a suponer un polinomio caracter\u00edstico con la forma:<\/p>\n

$$3s^{5}+5s^{4}+7s^{3}+9s^{2}+6s^{1}+4=0$$<\/p>\n

Realizando el ordenamiento de los datos tenemos<\/p>\n

$$\\begin{matrix}
\ns^{5} & 3 & 7 & 6\\\\
\ns^{4} & 5 & 9 & 4\\\\
\ns^{3} & & & \\\\
\ns^{2} & & & \\\\
\ns^{1} & & & \\\\
\ns^{0} & & &\\\\
\n\\end{matrix}$$<\/p>\n

De la misma forma que en el caso anterior, iniciamos los c\u00e1lculos para llenar la tabla ordenada de coeficientes:<\/p>\n

$$b_{1}=\\frac{(5)(7)-(9)(3)}{5}=\\frac{8}{5}=1.6$$<\/p>\n

$$b_{2}=\\frac{(5)(6)-(4)(3)}{5}=\\frac{18}{5}=3.6$$<\/p>\n

Lo que nos da:<\/p>\n

$$\\begin{matrix}
\ns^{5} & 3 & 7 & 6\\\\
\ns^{4} & 5 & 9 & 4\\\\
\ns^{3} & 1.6 & 3.6 & \\\\
\ns^{2} & & & \\\\
\ns^{1} & & & \\\\
\ns^{0} & & &\\\\
\n\\end{matrix}$$<\/p>\n

Continuando con la siguiente fila:<\/p>\n

$$c_{1}=\\frac{(1.6)(9)-(3.6)(5)}{1.6}=\\frac{-3.6}{1.6}=-2.25$$<\/p>\n

$$c_{2}=\\frac{(1.6)(4)-(0)(5)}{1.6}=\\frac{6.4}{1.6}=4$$<\/p>\n

Dando como resultado:<\/p>\n

$$\\begin{matrix}
\ns^{5} & 3 & 7 & 6\\\\
\ns^{4} & 5 & 9 & 4\\\\
\ns^{3} & 1.6 & 3.6 & \\\\
\ns^{2} &-2.25 &4 & \\\\
\ns^{1} & & & \\\\
\ns^{0} & & &\\\\
\n\\end{matrix}$$<\/p>\n

Para la siguiente fila tenemos:<\/p>\n

$$c_{2}=\\frac{(-2.25)(3.6)-(4)(1.6)}{-2.25}=\\frac{-14.5}{-2.25}=6.44$$<\/p>\n

Como ya no podemos calcular m\u00e1s coeficientes, y como solo calculamos un coeficiente, ahora debajo de \u00e9l va el coeficiente independiente del polinomio, de tal forma que<\/p>\n

$$\\begin{matrix}
\ns^{5} & 3 & 7 & 6\\\\
\ns^{4} & 5 & 9 & 4\\\\
\ns^{3} & 1.6 & 3.6 & \\\\
\ns^{2} &-2.25 &4 & \\\\
\ns^{1} & 6.44 & & \\\\
\ns^{0} & 4 & &\\\\
\n\\end{matrix}$$<\/p>\n

Nuevamente, es posible ver que se trata de un sistema inestable, debido a que hay cambios de signos en la primera columna, entre +1.6 y -2.25; y -2.25 y +6.44.<\/p>\n

Ahora, si tenemos un polinomio en la siguiente forma:<\/p>\n

$$3s^{4}+9s^{3}+9s^{2}+6s^{1}+3K=0$$<\/p>\n

Como podemos observar, este polinomio tiene una variable $K$, esta variable es muy importante, ya que ella es la que definir\u00e1 si este sistema es estable o inestable, y tambi\u00e9n definir\u00e1 los valores para los cuales se cumple la estabilidad, el proceso del c\u00e1lculo es exactamente igual que en los ejemplos anteriores, solo que en este caso vamos a ir arrastrando simb\u00f3licamente la variable $K$. Acomodamos los coeficientes seg\u00fan la tabla:<\/p>\n

$$\\begin{matrix}
\ns^{4} & 3 & 9 & 3K\\\\
\ns^{3} & 9 & 6 & 0 \\\\
\ns^{2} &\u00a0 &\u00a0 & \\\\
\ns^{1} &\u00a0 & & \\\\
\ns^{0} &\u00a0 & &\\\\
\n\\end{matrix}$$<\/p>\n

Calculamos la primera fila de coeficientes:<\/p>\n

$$b_{1}=\\frac{(9)(9)-(6)(3)}{9}=\\frac{63}{9}=7$$<\/p>\n

$$b_{1}=\\frac{(9)(3K)-(0)(3)}{9}=\\frac{27K}{9}=3K$$<\/p>\n

Dando como resultado:<\/p>\n

$$\\begin{matrix}
\ns^{4} & 3 & 9 & 3K\\\\
\ns^{3} & 9 & 6 & 0 \\\\
\ns^{2} &\u00a0 7 & 3K\u00a0 & \\\\
\ns^{1} &\u00a0 & & \\\\
\ns^{0} &\u00a0 & &\\\\
\n\\end{matrix}$$<\/p>\n

Continuando con la siguiente fila:<\/p>\n

$$c_{1}=\\frac{(7)(6)-(3K)(9)}{7}=\\frac{42-27K}{7}=\\frac{42}{7}-\\frac{27K}{7}=6-3.85K$$<\/p>\n

Como ya no se pueden calcular m\u00e1s elementos de la fila y solo se calcul\u00f3 un solo coeficiente, colocamos debajo de \u00e9l, el valor del coeficiente independiente, quedando:<\/p>\n

$$\\begin{matrix}
\ns^{4} & 3 & 9 & 3K\\\\
\ns^{3} & 9 & 6 & 0 \\\\
\ns^{2} &\u00a0 7 & 3K\u00a0 & \\\\
\ns^{1} & 6-3.85K & & \\\\
\ns^{0} &\u00a0 3K & &\\\\
\n\\end{matrix}$$<\/p>\n

Ahora, \u00bfC\u00f3mo se hace ese sistema estable?. la respuesta es simple, es posible ver que los primeros tres elementos de la columna principal son positivos, por lo tanto los \u00faltimos dos elementos tambi\u00e9n deben de ser positivos, es decir,<\/p>\n

$$6-3.85K>0$$<\/p>\n

$$3K>0$$<\/p>\n

Podemos definir f\u00e1cilmente el rango de valores de $K$ del \u00faltimo elemento de la columna, simplemente , para que el \u00faltimo valor de la columna de siempre un valor positivo.<\/p>\n

Para que el pen\u00faltimo valor de la columna de siempre positivo, necesitamos encontrar el rango de valores para los que $K$\u00a0 da positivo, tal que:<\/p>\n

\\begin{matrix}
\n6-3.85K>0\\\\
\n-3.85K>-6\\\\
\n3.85K<6\\\\
\nK<\\frac{6}{3.85}
\n\\end{matrix}<\/p>\n

Por lo que vemos que $K$ debe ser menor que $\\frac{6}{3.85} = 1.558$ (este l\u00edmite lo pone el pen\u00faltimo elemento de la columna), y mayor que 0 (este l\u00edmite lo pone el \u00faltimo elemento de la columna), tal que<\/p>\n

$$0<K<\\frac{6}{3.85}$$<\/p>\n

Y de esta forma encontramos el rango de valores de $K$ para los que el sistema es estable.<\/p>\n

Para poder simular el criterio de Ruth-Hurwitz <\/em>en Matlab, se puede descargar el siguiente c\u00f3digo:<\/p>\n

Ruth-Hurwitz<\/strong><\/a><\/p>\n

El proyecto original puede ser descargado y visualizado desde:<\/p>\n

https:\/\/la.mathworks.com\/matlabcentral\/fileexchange\/17483-routh-hurwitz-stability-criterion<\/a><\/p>\n

Verificaci\u00f3n en Matlab<\/strong><\/h2>\n

Vamos a verificar el \u00faltimo de los ejercicios realizados, y ver como se comporta este sistema con diferentes valores de Matlab, para esto vamos a utilizar valores de $K=\\{-1, .5, 1, 1.55. 1.56\\}$. Recordando que para que el sistema sea estable se debe de cumplir $0<K<\\frac{6}{3.85}$.<\/p>\n

Vamos a utilizar el siguiente c\u00f3digo de Matlab:<\/p>\n

\n
\n
\n
<\/div>\n
\n
\n
K=1.56;\r\nnum=K;\r\nden=[3 9 9 6 3*K];\r\nSalida=tf(num,den)\r\nstep(Salida)<\/pre>\n
En el c\u00f3digo, se va a ir sustituyendo los valores mencionados de $K$, lo que nos dar\u00e1 las gr\u00e1ficas de la figura 7.<\/span><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
<\/div>\n
\"\"<\/a><\/div>\n
Fig.7.- Respuesta en el tiempo del sistema $3s^{4}+9s^{3}+9s^{2}+6s^{1}+3K=0$ para cada uno de los valores $K=\\{-1, .5, 1, 1.55. 1.56\\}$, las gr\u00e1ficas est\u00e1n en orden respecto a la secuencia anterior.<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
<\/div>\n
Es posible observar en la figura 7 como antes de 0 y despu\u00e9s de 1.55 el sistema entra en inestabilidad, mientras que para los valores entre esos rangos, el sistema se mantiene estable.<\/div>\n
\n
\n
<\/div>\n
<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
<\/div>\n
<\/div>\n
<\/div>\n
<\/div>\n
 <\/p>\n
 <\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
Estabilidad La estabilidad en un sistemas nos muestra si este va a comportarse de una forma adecuada, o si por el contrario el sistema terminara realizando acciones fuera de control o indebidas. Un sistema es estable si responde en forma limitada a una excitaci\u00f3n limitada. Tambi\u00e9n puede decirse que un sistema estable es aquel en … <\/p>\n
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