{"id":306,"date":"2021-07-07T16:16:04","date_gmt":"2021-07-07T22:16:04","guid":{"rendered":"http:\/\/virtual.cuautitlan.unam.mx\/intar\/ime\/?page_id=306"},"modified":"2021-07-10T20:43:13","modified_gmt":"2021-07-11T02:43:13","slug":"306-2","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/virtual.cuautitlan.unam.mx\/intar\/ime\/306-2\/","title":{"rendered":"Respuesta en frecuencia"},"content":{"rendered":"

Respuesta en frecuencia<\/strong><\/h1>\n

En otra p\u00e1gina de esta web (http:\/\/virtual.cuautitlan.unam.mx\/intar\/ime\/sistemas-de-primer-orden\/<\/a> ) se hab\u00eda visto como probar un sistema con las se\u00f1ales de entrada Escal\u00f3n, Rampa y Pulso unitario. Sin embargo, existe una se\u00f1al de prueba adicional, pero esta tiene un comportamiento completamente diferente dentro del sistema a las se\u00f1ales mencionadas, en este caso la se\u00f1al de entrada con la que tambi\u00e9n se puede probar un sistema es por medio de una se\u00f1al senoidal.<\/p>\n

Se ingresa la se\u00f1al senoidal al sistema, y puede suceder que la se\u00f1al se aten\u00fae o que la se\u00f1al se desfase. Para poder calcular la atenuaci\u00f3n y desfase que sufre una se\u00f1al cuando se ingresa al sistema, utilizamos los diagramas de Bode<\/em>, o la respuesta en frecuencia de un sistema. Esto quiere decir, que los sistemas cambian sus condiciones de funcionamiento de acuerdo a la frecuencia en la que se trabaje, es decir, cada sistema debe ser dise\u00f1ado para un rango de frecuencias \u00f3ptimas, si se salen de ese rango de frecuencias, los sistemas pueden generar mal funcionamiento e inestabilidad.<\/p>\n

Para analizar este comportamiento, se utiliza una escala logar\u00edtmica, ya que\u00a0 permite visualizar una gran cantidad de frecuencias es un espacio muy reducido, por ejemplo podemos visualizar frecuencias que van de .1 HZ hasta 100 Khz en una sola hoja.<\/p>\n

Ahora bien, suponemos que tenemos un sistema de la forma:<\/p>\n

$$
\n\\begin{equation}
\nH(S)=\\frac{S(S+2)}{(S+4)}
\n\\end{equation}
\n$$<\/p>\n

Para poder realizar el an\u00e1lisis, necesitamos obtener polos y ceros con la forma $\\frac{S}{N}+1$ , donde $N$ es un valor num\u00e9rico. Por tal motivo, de la ecuaci\u00f3n (1), factorizamos 2 en el cero y 4 en el polo, para este fin, multiplicamos $S$ en el polo y en el cero por un uno algebraico, definido como:<\/p>\n

$$
\n\\begin{equation}
\nH(S)=\\frac{S\\left(S\\frac{2}{2}+2\\right)}{\\left(S\\frac{4}{4}+4\\right )}=\\frac{2S\\left(\\frac{S}{2}+1\\right)}{4\\left(\\frac{S}{4}+1\\right )}
\n\\end{equation}
\n$$<\/p>\n

Como es posible ver, la multiplicaci\u00f3n por el uno algebraico solo se realiz\u00f3 para poder factorizar 2 y 4 del cero y del polo respectivamente, para obtener sus representaciones en la forma $\\frac{S}{N}+1$. A la ecuaci\u00f3n (2), ahora se le convierte en una representaci\u00f3n logar\u00edtmica en la forma:<\/p>\n

$$20logH(S)=\\frac{2S\\left(\\frac{S}{2}+1\\right)}{4\\left(\\frac{S}{4}+1\\right )}=\\frac{.5S\\left(\\frac{S}{2}+1\\right)}{\\left(\\frac{S}{4}+1\\right )}$$<\/p>\n

$$
\n\\begin{equation}
\n20logH(S)=20log 0.5+20log S+20log \\left(\\frac{S}{2}+1\\right)-20log \\left(\\frac{S}{4}+1\\right )
\n\\end{equation}
\n$$<\/p>\n

En la ecuaci\u00f3n 3, hay que darse cuenta que el 20 log se le aplica a cada uno de los componentes de la ecuaci\u00f3n que forman la funci\u00f3n. Tambi\u00e9n hay que notar que los elementos del numerador est\u00e1n en positivo y los elementos del denominador, o polos, se encuentran como negativos.<\/p>\n

Ya habiendo entendido esta parte, podemos realizar el primer ejercicio de respuesta en frecuencia. Para esto hay que visualizar las reglas que tenemos para formar los trazos de Bode, para los trazos de bode es necesario realizar dos gr\u00e1ficas, una correspondiente a la atenuaci\u00f3n\/amplificaci\u00f3n, y la otra gr\u00e1fica correspondiente al desfase que sufre la se\u00f1al. Estas reglas las podemos ver en la siguiente tabla, observando que se tienen reglas para amplitud y fase:<\/p>\n

<\/p>\n

<\/p>\n

<\/p>\n

\"\"<\/a><\/p>\n

Tabla1.- Reglas para la construcci\u00f3n de los diagramas de bode, reglas en amplitud y desfase.<\/p>\n

En la tabla 1 se puede observar que hay una regla para cada posible situaci\u00f3n, polos y ceros en el origen, polos y ceros en un punto determinado $\\omega_{n}$, as\u00ed como polos y ceros complejos .<\/p>\n

Remarcando que en el caso de la amplitud, podemos ver que si existe un polo en $\\frac{S}{\\omega_{1}+1}$ , la gr\u00e1fica va a iniciar precisamente en $\\omega_{1}$, y va a ir creciendo a raz\u00f3n de 20dB por d\u00e9cada, lo que significa que en la siguiente d\u00e9cada de la escala logar\u00edtmica, en $10\\omega_{1}$, la l\u00ednea habr\u00e1 subido 20 decibles, est\u00e1 pendiente subir\u00e1 hasta el infinito. En el caso del diagrama de fase vemos que tenemos que tambi\u00e9n representa a $\\frac{S}{\\omega_{1}+1}$ , sin embargo, en este caso vemos que inicia en $\\frac{\\omega_{1}}{10}$ y termina en $10\\omega_{1}$, es decir, inicia una d\u00e9cada antes y termina una d\u00e9cada despu\u00e9s de la posici\u00f3n se\u00f1alada, aqu\u00ed solamente sube o baja dos d\u00e9cadas, a ra\u00edz de 45\u00b0 por d\u00e9cada, estos comportamientos lo podemos percibir en la figura 2, donde se muestra en anaranjado la relaci\u00f3n de incremento o decremento (seg\u00fan sea cero o polo, respectivamente), y se muestra en azul el inicio y termino de la pendiente.<\/p>\n

<\/p>\n

Fig. 2.- Ejemplo de inici\u00f3 y termino de las gr\u00e1ficas que pertenecen a cada polo o cero del sistema.<\/p>\n

Esta interpretaci\u00f3n se puede realizar en cada una de las reglas de la tabla, donde se ve el incremento, decremento, raz\u00f3n de incremento y tiempo de la pendiente, de cada uno de los posibles elementos que componen una funci\u00f3n.<\/p>\n

Ahora, bien ya explicada la interpretaci\u00f3n y las bases para la realizaci\u00f3n del gr\u00e1fico, procedemos a su realizaci\u00f3n.<\/p>\n

Vamos a realizar el gr\u00e1fico que representa a la funci\u00f3n de transferencia:<\/p>\n

$$20logH(S)=\\frac{2S\\left(\\frac{S}{2}+1\\right)}{4\\left(\\frac{S}{4}+1\\right )}=\\frac{.5S\\left(\\frac{S}{2}+1\\right)}{\\left(\\frac{S}{4}+1\\right )}$$<\/p>\n

La funci\u00f3n de transferencia nos da la figura 4, haciendo notar que en el eje de las Y, se encuentran los decibeles y grados (para magnitud y desfase, respectivamente), y en el eje de las X, se encuentran las frecuencias, que como se indica van desde .1 hasta 10000.<\/p>\n

Para identificar cada uno de los trazos que corresponde a cada uno de los elementos de la funci\u00f3n de transferencia, nos vamos a auxiliar de la figura 3, en donde se identifica cada elemento con un color determinado, color que posteriormente ser\u00e1 utilizado en las gr\u00e1ficas de bode.<\/p>\n

\"\"<\/a><\/p>\n

Fig. 3.- Representaci\u00f3n en colores de la funci\u00f3n de transferencia a graficar en el esquema de Bode.<\/p>\n

<\/p>\n

Fig. 4.- Diagramas de Bode, el diagrama superior representa la amplitud de la se\u00f1al, el diagrama inferior representa el desfase de la se\u00f1al. S\u00f3lo se han colocado los trazos que representan a cada uno de los elementos de la figura 3.<\/p>\n

Analizando el diagrama de la magnitud en la figura 4, vemos que la primera parte de la funci\u00f3n de transferencia es .5, por lo que $20log0.5=-6dB$, seg\u00fan la tabla de las propiedades para el trazado, cuando se trata de una constante, simplemente se traza una l\u00ednea recta en el valor de la constante, esta l\u00ednea la vemos en amarillo en $-6 dB$. La segunda parte de la funci\u00f3n de transferencia es un cero en el origen es decir $S=0$, remarcada con azul en la funci\u00f3n, seg\u00fan la tabla dice que cuando se tiene un cero en el origen, el trazo se inicia\u00a0 en $-20dB$,\u00a0 sube a raz\u00f3n de $20 dB\/D$, y debe de cruzar por 1 (este punto se logra en la coordenada $(0 dB, 1)$ este cruce se marc\u00f3 con un puntito azul. Ahora se tiene un cero que inicia en 2, y sube con una pendiente a raz\u00f3n de $20 dB\/D$ hasta el infinito, lo cual se ve con eltrazo verde. Por \u00faltimo tenemos un polo que inicia en 4, pero como es polo inicia una pendiente descendiente a raz\u00f3n de $-20 dB\/D$, que se ve como la l\u00ednea gris.<\/p>\n

En el caso de la fase, se puede ver de igual forma que para el primer elemento, seg\u00fan la tabla dice que si es una constante, se traza una l\u00ednea recta en $0\u00b0$ (si la constante fuera menor que 0, la l\u00ednea se traza en $180\u00b0$), por lo que se traza la l\u00ednea amarilla. Para el segundo elemento, se tiene un cero en el origen, seg\u00fan la tabla, esto significa que se traza una l\u00ednea recta en $90\u00b0$, indicada con la l\u00ednea azul. Para el tercer elemento, se tiene un cero que marca el valor 2, sin embargo, seg\u00fan la tabla, la gr\u00e1fica debe de iniciar en .2 subir a una raz\u00f3n de $45\u00b0$ por d\u00e9cada y terminar en 20, comportamiento que se ve claramente en la l\u00ednea verde. Por \u00faltimo, tenemos un polo que marca 4, seg\u00fan la tabla, iniciamos en .4, bajamos a una raz\u00f3n de $-45\u00b0\/D$ hasta llegar a 40 (Es decir recorremos dos d\u00e9cadas), lo que se ve claramente con el trazo gris.<\/p>\n

Ya habiendo explicado lo que significan cada uno de los trazos, es necesario decir, que este no es el resultado final, ya que el resultado final se definir\u00e1 sumando todos y cada uno de los puntos que se involucran en las gr\u00e1ficas, estos puntos de suma los colocaremos en cada momento que una l\u00ednea nazca o desaparezca en la forma mostrada en la figura 5:<\/p>\n

\"\"<\/a><\/p>\n

Fig. 5.- Suma de los trazos independientes de cada elemento para obtener el comportamiento general del sistema, este comportamiento se puede ver en la l\u00ednea gris de ambos diagramas.<\/p>\n

El trazo negro de la figura 5, es el comportamiento del sistema con respecto a las frecuencias. Ahora bien, \u00bfC\u00f3mo se forman tales gr\u00e1ficas negras?.\u00a0 Estas se forman con la suma de los puntos de inicio y con las sumas de las pendientes, cada que inicia o termina una pendiente, nosotros realizamos una suma en dB o en \u00e1ngulos, seg\u00fan sea la tabla a realizar.<\/p>\n

Iniciamos con la fase, vemos que nuestra l\u00ednea inicia en -26 dB, esto debido a que originalmente tenemos una l\u00ednea amarilla que inicia en -6 dB y una l\u00ednea azul que inicia en -20 dB, si sumamos esos dos puntos nos da como resultado -26 dB. Ya que definimos el punto de partida, vamos a ir sumando las pendientes en dB\/D. Vemos que iniciamos la l\u00ednea negra con un ascenso de 20 dB\/D, ya que en ese momento sumamos la pendiente de la l\u00ednea azul, est\u00e1 pendiente es de 20 dB\/D, pero este crecimiento solo se da hasta el punto en que nace la l\u00ednea verde, en ese momento, podemos ver que la pendiente verde va a raz\u00f3n de 20 dB\/D, por lo que en ese punto existen dos ascensiones a raz\u00f3n de 20 dB\/D, sumando ambas nos da una secci\u00f3n de la l\u00ednea negra que asciende a raz\u00f3n de 40 dB\/D. Esta ascensi\u00f3n de la l\u00ednea negra a raz\u00f3n de 40 dB\/D llega hasta el punto en donde nace la l\u00ednea gris, vemos que la l\u00ednea gris decrece a raz\u00f3n de -20 dB\/D, por lo tanto 40 dB\/D \u2013 20 dB\/D = 20 dB\/D, la l\u00ednea negra en este momento vuelve a ascender a raz\u00f3n de 20 dB\/D, continuando este comportamiento hasta el infinito. En el gr\u00e1fico se se\u00f1al\u00f3 cada uno de los puntos en donde cambia la pendiente con un punto rosa, se\u00f1alando tambi\u00e9n la operaci\u00f3n realizada en cada punto.<\/p>\n

Ahora tenemos la gr\u00e1fica de la fase, para esta de igual manera que la de magnitud, necesitamos definir el punto de inicio de la gr\u00e1fica, para este caso tenemos una l\u00ednea azul que est\u00e1 en 90\u00b0, y una l\u00ednea amarilla que se encuentra a 0\u00b0, por lo tanto 90\u00b0 + 0\u00b0 = 90\u00b0, es el punto d\u00f3nde inicia la l\u00ednea negra, como no hay pendiente en ese punto, la l\u00ednea continua con una raz\u00f3n de 0\u00b0 hasta el punto donde nace la l\u00ednea verde, la l\u00ednea verde crece a raz\u00f3n de 45\u00b0\/D, por lo que sumamos estos 45\u00b0 a los 0\u00b0 con los que estaba caminando la l\u00ednea negra, en este momento la l\u00ednea negra cambia a raz\u00f3n de 0\u00b0 + 45\u00b0 = 45\u00b0. Comienza a crecer a raz\u00f3n de 45\u00b0\/D hasta donde nace la l\u00ednea gris. En este punto se tiene una suma de 45\u00b0 (negra)- 45\u00b0 (gris) = 0\u00b0, en este momento, se puede ver la l\u00ednea negra sigue hac\u00eda adelante pero con una raz\u00f3n de crecimiento de 0\u00b0, hasta llegar a punto donde la l\u00ednea verde detiene su ascensi\u00f3n. En este momento tenemos una suma de 0\u00b0 – 45\u00b0 = -45\u00b0, que es la raz\u00f3n a la que cambio la l\u00ednea negra, asciende a 45\u00b0\/D, hasta llegar al punto donde la l\u00ednea gris detiene su crecimiento. En este punto se suman todos los valores de los cambios de las l\u00edneas verde y gris, en este caso tenemos 90\u00b0 de la l\u00ednea verde, -90\u00b0 de la l\u00ednea gris, por lo que realizando la suma de esos cambios tenemos que 90\u00b0 – 90\u00b0 = 0\u00b0, que como podemos ver es la \u00faltima relaci\u00f3n de cambio de la l\u00ednea negra. Al ya no haber m\u00e1s cambios m\u00e1s adelante, esta l\u00ednea permanece a 0\u00b0 hasta el infinito. En el gr\u00e1fico se se\u00f1al\u00f3 cada uno de los puntos en donde cambia la pendiente con un punto rosa, se\u00f1alando tambi\u00e9n la operaci\u00f3n realizada en cada punto.<\/p>\n

Bode en Matlab<\/strong><\/h1>\n

Para obtener la gr\u00e1fica de Bode en Matlab del ejemplo dado, s\u00f3lo es necesario colocar el siguiente c\u00f3digo:<\/p>\n

\n
\n
\n
<\/div>\n
\n
\n
funcion=tf([1 2 0], [1 4]);\r\nbode(funcion,{.1,1000})\r\ngrid<\/pre>\n
Haciendo notar que los valores de la funci\u00f3n de transferencia vienen de la ecuaci\u00f3n:<\/span><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
\n
\n
$$
\n\\begin{equation}
\nH(S)=\\frac{S(S+2)}{(S+4)}=\\frac{(S^{2}+2S)}{(S+4)}
\n\\end{equation}
\n$$<\/div>\n<\/div>\n
Los diagramas obtenidos son los siguientes:<\/div>\n
\"\"<\/a><\/div>\n
Fig. 6.- Trazos de Bode obtenidos por medio de Matlab, es posible comparar estos trazos con los mostrados en la figura 5 y comparar su similitud, debe considerarse las proporciones de las gr\u00e1ficas.<\/div>\n
<\/div>\n<\/div>\n
Si queremos ver las as\u00edntotas del sistema modelado en Bode por medio de Matlab, podemos utilizar el siguiente script dise\u00f1ado por Valerio Scordamaglia (2021):<\/div>\n
<\/div>\n
Script<\/strong><\/a><\/div>\n
Hay que guardar la funci\u00f3n como una rchivo dentro de la carpeta que se esta usando en Matlab, o la carpeta por default y se utiliza llamando la funci\u00f3n asymp( ), por ejemplo:<\/div>\n
\n
H = tf([100],[.05 .6 1]);\r\nbode(H)\r\nasymp(H)<\/pre>\n
Que nos da como resultado:<\/p>\n
\"\"<\/a><\/p>\n
Fig.7.- Resultado de la funci\u00f3n asymp ( ), en azul tenemos la gr\u00e1fica que Matlab por default nos arroja, y en verde se tienen las as\u00edntotas con las cuales se forma la gr\u00e1fica.<\/p>\n
Referencias<\/strong><\/p>\n<\/div>\n
Valerio Scordamaglia (2021), Asymptotic Bode Diagram<\/span>\u00a0(https:\/\/www.mathworks.com\/matlabcentral\/fileexchange\/23870-asymptotic-bode-diagram), MATLAB Central File Exchange. Retrieved\u00a0
\n
<\/div>\n
\n
\n
<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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