{"id":136,"date":"2021-06-27T21:03:19","date_gmt":"2021-06-28T03:03:19","guid":{"rendered":"http:\/\/virtual.cuautitlan.unam.mx\/intar\/ime\/?page_id=136"},"modified":"2021-07-05T12:34:42","modified_gmt":"2021-07-05T18:34:42","slug":"sistema-resorte-masa-amortiguador","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/virtual.cuautitlan.unam.mx\/intar\/ime\/sistema-resorte-masa-amortiguador\/","title":{"rendered":"Sistema Resorte, Masa, Amortiguador"},"content":{"rendered":"

Sistema de segundo orden: Resorte, Masa, Amortiguador<\/strong><\/h1>\n

De acuerdo a otra p\u00e1gina de esta web, el lector debe de estar familiarizado con los sistemas de segundo orden.<\/p>\n

Supongamos que tenemos el siguiente sistema de segundo orden:<\/p>\n

\"\"<\/a><\/p>\n

Fig. 1.- Sistema de segundo orden Resorte, Masa, Amortiguador.<\/p>\n

Para modelar el sistema de la figura 1, es necesario auxiliarnos de la segunda Ley de Newton, que nos dice:<\/p>\n

$$\\sum Fuerzas=m*a$$<\/p>\n

Considerando las funciones de velocidad y aceleraci\u00f3n aplicadas en la masa, podemos expresar el comportamiento de la masa en el sistema en la forma:<\/p>\n

$$
\n\\begin{equation}
\nM\\frac{d^{2}x(t)}{dt}=f(t)-D\\frac{dx(t)}{dt}-Kx(t)
\n\\end{equation}
\n$$<\/p>\n

Ahora bien, si dividimos toda la ecuaci\u00f3n entre M,<\/em> tenemos<\/p>\n

$$
\n\\begin{equation}
\n\\frac{d^{2}x(t)}{dt}=\\frac{f(t)}{M}-\\frac{D}{M}\\frac{dx(t)}{dt}-\\frac{K}{M}x(t)
\n\\end{equation}
\n$$<\/p>\n

Si aplicamos la transformada de Laplace<\/em>, considerando condiciones iniciales iguales a cero (Formulario se puede ver aqu\u00ed<\/a>) a la ecuaci\u00f3n (2), tenemos:<\/p>\n

$$
\n\\begin{equation}
\nS^{2}X(S)=-\\frac{D}{M}SX(S)-\\frac{K}{M}X(S)+\\frac{F(S)}{M}
\n\\end{equation}
\n$$<\/p>\n

El sistema de la ecuaci\u00f3n (3), puede ser representado por medio del siguiente esquema:<\/p>\n

\"\"<\/a><\/p>\n

Fig.2.- Esquema representativo de un sistema de segundo orden, este responde a la ecuaci\u00f3n (3).<\/p>\n

Es posible ver en el diagrama de la figura 2 como despu\u00e9s de la sumatoria se forma la ecuaci\u00f3n (3), donde $\\dot{x}$ y $\\ddot{x}$ son la primera y segunda derivada de X,<\/em> respectivamente.<\/p>\n

De (3), colocamos todos los elementos que contengan X(S)<\/em> de un solo lado de la igualdad<\/p>\n

$$
\n\\begin{equation}
\n\\frac{F(S)}{M}=S^{2}X(S)+\\frac{D}{M}SX(S)+\\frac{K}{M}X(S)
\n\\end{equation}
\n$$<\/p>\n

Ahora bien, de (4) agrupamos y factorizamos X(S)<\/em>, tal que<\/p>\n

$$
\n\\begin{equation}
\n\\frac{F(S)}{M}=\\left [ S^{2}+\\frac{D}{M}S+\\frac{K}{M}\\right ]X(S)
\n\\end{equation}
\n$$<\/p>\n

Obteniendo la funci\u00f3n de transferencia, tenemos<\/p>\n

$$
\n\\begin{equation}
\n\\frac{X(S)}{F(S)}= \\frac{\\frac{1}{M}}{S^{2}+\\frac{D}{M}S+\\frac{K}{M}}
\n\\end{equation}
\n$$<\/p>\n

Por la ecuaci\u00f3n est\u00e1ndar de los sistemas de segundo orden, sabemos que el coeficiente en el numerador debe de ser igual al coeficiente independiente del denominador, por lo tanto multiplicamos el cociente del numerador de (6) por un uno algebraico, tal que:<\/p>\n

$$\\left ( \\frac{K}{K}\\right )\\left ( \\frac{1}{K}\\right )\\rightarrow\\left ( \\frac{1}{K}\\right )\\left ( \\frac{K}{M}\\right )$$<\/p>\n

Obteniendo:<\/p>\n

$$
\n\\begin{equation}
\n\\frac{X(S)}{F(S)}= \\frac{\\left (\\frac{1}{K} \\right )\\left ( \\frac{K}{M}\\right )}{S^{2}+\\frac{D}{M}S+\\frac{K}{M}}=\\left ( \\frac{1}{K}\\right )\\left[\\frac{\\left ( \\frac{K}{M}\\right )}{S^{2}+\\frac{D}{M}S+\\frac{K}{M}}\\right]
\n\\end{equation}
\n$$<\/p>\n

En la ecuaci\u00f3n (7) se puede observar que los dos coeficientes previamente mencionados ya son iguales, y vemos en el denominador que ya tenemos un polinomio de segundo grado. Por lo tanto, la ecuaci\u00f3n (7) la podemos pasar a la ecuaci\u00f3n caracter\u00edstica de un sistema de segundo orden, tal que:<\/p>\n

$$\\frac{X(S)}{F(S)}=k\\frac{\\omega_{n}^{2}}{S^{2}+2\\zeta\\omega_{n}S+\\omega_{n}^{2}}$$<\/p>\n

Donde:<\/p>\n

$$\\omega_{n}^{2}=\\frac{K}{M}$$<\/p>\n

$$2\\zeta\\omega_{n}=\\frac{D}{M}$$<\/p>\n

$$k=\\frac{1}{K}$$<\/p>\n

A partir de estos valores, se pueden calcular las caracter\u00edsticas que definir\u00e1n a cualquier sistema de segundo orden.<\/p>\n

Es importante mencionar, que el sistema modelado puede ser representado de manera electr\u00f3nica por medio del circuito que se muestra a continuaci\u00f3n.<\/p>\n

\"\"<\/a><\/p>\n

Fig. 3.- Representaci\u00f3n electr\u00f3nica del sistema de segundo orden mostrado en la figura 1.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Sistema de segundo orden: Resorte, Masa, Amortiguador De acuerdo a otra p\u00e1gina de esta web, el lector debe de estar familiarizado con los sistemas de segundo orden. Supongamos que tenemos el siguiente sistema de segundo orden: Fig. 1.- Sistema de segundo orden Resorte, Masa, Amortiguador. Para modelar el sistema de la figura 1, es necesario … <\/p>\n

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